Wie lang sind beide Katheten wenn Hypotenuse u Höhe gegeben?

Question

Wie lang sind in einem rechtwinkligen Dreieck die Katheten a und b, wenn die Hypotenuse 17,8 cm und die Höhe auf der Hypotenuse 8 cm beträgt?

Answer 1

In einem Rechtwinkligen Dreieck kann man ja die Fläche über  Wege berechnen: a * b  /2 =  h_c / 2 * c. Damit kann man auch jetzt a und b ausrechnen:

a*b/2=17,8cm*8cm/2=17,8*4=71,2cm²

Jetzt muss man beachten, dass a²+b²=c²=316,84cm², denn ansonsten ist das Dreieck nicht rechtwinklig.

Hier fällt mir aber nichts ein ausser pröbeln. Damit konnte ich jedoch (noch) keine Lösung finden... Vielleicht kennt hier noch jemand einen Trick ;-)

 

Ich hoffe, ich konnte helfen!

Simon

Comments

Stichwort Kathetensatz und Höhensatz ;).

 

Es fehlt übrigens der Faktor 1/2 beim Flächeninhalt a*b.

 

Grüße

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An diese Sätze habe ich gar nicht gedacht... Und ja, danke für den Fehler (für die Verbesserung)!

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Danke...hab die Lösung gestern selbst noch gefunden :)

Answer 2

Höhensatz: p*q = h^2

Seite c: p+q = c

p*(c-p) = h^2

p*c-p^2 = h^2

p^2 - p*c + h^2 = 0

p = c/2 ±√(c^2/4 - h^2)

p=5 und q=12,8         (Es gibt zwei Lösungen, aber nach "Seite c" ist das andere dann q. Auch für a/b gibt es zwei Lösungen, die aber identisch sind, abgesehen davon, dass man die Werte von a und b miteinander tauscht)

 

Kathetensatz: a²=pc

a=√(5*17,8)=√89≈9,43

b=√(12,8*17,8)=√227,84≈15,09
 

Die Katheten haben also die Länge a=9,43 und b=15,09 oder andersrum.

 

Grüße

 

 

Comments

Danke...die Umstellung des Höhensatz war die Lösung! Damit konnte ich dann eine quadratische Gleichung bilden u dir hab ich gebraucht :)

Answer 3

Ich benutze mal den Ansatz von simonai, weil ich denke das dieser hier recht einfach zu berwerkstelligen ist, weil man dazu keine andere Formel wie den Höhensatz oder Kathetensatz braucht.

Erste Gleichung

a * b / 2 = c * h / 2
a * b = c * h
a * b = 17.8 * 8 = 142.4
b = 142.4/a

Zweite Gleichung

a^2 + b^2 = c^2 <--- Hier wird für b der Term aus der ersten Gleichung eingesetzt.
a^2 + (142.4/a)^2 = 17.8^2
a^2 + 20277.76/a^2 = 316.84
a^4 + 20277.76 = 316.84a^2
a^4 - 316.84a^2 + 20277.76 = 0
z^2 - 316.84z + 20277.76 = 0

Lösen mit pq-Formel ergibt die Lösungen

z1 = 227.84
a1 = √227.84 = 15.09

z2 = 89
a2 = √89 = 9.434

Das ist also genau die von Unknown gefundene Lösung. Hier gibt es zwei Lösungen. a und b können ja jeweils vertauscht werden. Daher hat man hier bei a auch quasi gleich die Lösung für b mit ausgerechnet.