Rekursionsformel für Binomialkoeffizienten. Anwendung.

Question

Wann wird die Rekursionformel von Bernouilli angewendet? Was kann ich unter " Rekursive Berechnung von Wahrscheinlichkeiten bei Biomialverteilungen" verstehen?

Answer 1

Normal rechnet man ja nach

B(n, p, k) = (n über k) * p^k * (1-p)^{n-k}

Wenn man damit aber mehrere Werte hintereinander Ausrechnen will ist das sehr aufwendig. Dann kann man die Rekursive Formel benutzten

Man rechnet

B(n, p, 0) = (n über 0) * p^0 * (1-p)^{n} = (1-p)^n

Und die Werte für aufsteigende k errechnen wir jetzt rekursiv über

B(n, p, k+1) = B(n, p, k) * p / (1 - p) * (n - k) / (k + 1)

Comments

Dankeee!! Vielen Dank, nur wofür will ich mehrere k s hintereinander rechnen könnten sie mir vielleicht eine beispielsaufgabe nennen? ?

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Eigentlich schon, wenn man die ganze Verteilung wissen möchte.

Wenn du einen Casio Taschenrechner hast dann hat der das n über k. Aber wenn du den nicht hast ist es günstiger für die komplette Verteilung die Rekursionsformel zu nehmen.

Sagen wir mal die Wahrscheinlichkeit einen Jungen zu bekommen sei 52% und die ein Mädchen zu bekommen sei 48%.

Gib die komplette Wahrscheinlichkeitsverteilung für eine Familie an, die 4 Kinder bekommen möchte.

B(4, 0.52, 0) = 0.48^4 = 0.0531
B(4, 0.52, 1) = 0.0531 * 0.52/0.48 * 4/1 = 0.2300
B(4, 0.52, 2) = 0.2300 * 0.52/0.48 * 3/2 = 0.3738
B(4, 0.52, 3) = 0.3738 * 0.52/0.48 * 2/3 = 0,2700
B(4, 0.52, 4) = 0,2700 * 0.52/0.48 * 1/4 = 0,0731

Du kommst hier also komplett ohne das n über k aus. Jetzt kannst du Fragen beantworten wie:

Wie Wahrscheinlich ist es das eine Familie genau 2 Jungen und 2 Mädchen bekommt?
Wie Wahrscheinlich ist es bei 4 Kindern mindestens 2 Jungen zu bekommen?

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Möchte man mit der Rekursionsformel alle erfolge für k berechnen ?

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Das müssen nicht alle sein. Aber du kannst damit sehr leicht die Wahrscheinlichkeit für ein Intervall bestimmen.

 

Aber wie gesagt. Eigentlich können schon viele Taschenrechner n über k direkt ausrechnen und auch direkt Summen bilden, sodass die Rukursionsformel kaum noch benutzt wird. Aber wer weiß ob du nicht mal eine Android App zur Wahrscheinlichkeitsrechnung machst und die Formel dort verwendest, weil es halt noch etwas einfacher und schneller ist als mit n über k zu rechnen.

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Nein, das Problem ist ich soll meiner Klasse die rekursive berechnung von binominialverteilungen erklären. Ich weiß zwar die Formel dafür aber ich verstehe nicht wieso man diese verwendet. Weder im Internet noch in den Büchern krieg ich informationen dazu. Ich kenne die Formel (n über k)* p^k * q^n-k    jedoch weiß ich nicht wieso die rekursive berechnung gemacht wird. Außerdem verstehe ich nicht wieso bei der herleitung k - 1 genommen wird. =(

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Ich habe das doch oben vorgeführt. Ich habe die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Binomialverteilung vorgerechnet. Mach das doch mal mit der normalen Formel ohne den Taschenrechner zu benutzen. Und dann schau dir an wie einfach das mit der rekursiven Formel ist.

Eine Herleitung habe ich ja gar nicht gemacht, danach hattest Du auch nicht gefragt.

Eine Leichte Herleitung findest du unter

http://www.k-achilles.de/stochastik/binomialvert-rek.pdf

Wenn du dazu Fragen hast dann Frag ruhig.

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Allerdings solltest Du die Herleitung Lieber mit P(X=k+1) / P(X=k) machen.

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Also die Herleitung erfolgt ja so: P (X=k) / P (X=k-1) = (n über k) * p^k * q^n-k / (n über k-1) * p^k-1 * q^n-k+1 wieso wird bei der Herleitung -k genommen ??

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Man teilt zwei aufeinanderfolgende Werte, nämlich die für k und für k-1 um so diesen Faktor zu erhalten um den sich die zwei aufeinanderfolgenden Werte unterscheiden.

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Und eine letzte Frage.

20-k+1        0,55
--------   *    -------    =  1
  k                0,45  

 

 

wie bekomme ich k raus? wie muss ich umformen sodass k= 11,55 ergibt?

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(20 - k + 1)/k * 0.55/0.45 = 1 | * k * 0.45
(20 - k + 1) * 0.55 = 0.45k
11.55 - 0.55k = 0.45k
11.55 = k

Allgemein gilt:

p·(k - n - 1)/(k·(p - 1)) = 1
k = p·(n + 1)

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Dankeschön für die Mühe die Sie für meine Frage gemacht haben. Vielen Dank

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P(X=k)          (n über k) * p^k * q^n-k
----------   =  --------------------------------------------
P(X=k-1)        (n über k-1) * p^k-1 * q ^n-k+1

 

daraus folgt

 

                      n!
P(X=k)         ----------     * p
                    k!(n-k)!
----------   =  -------------------------------
                             n!
P(X=k-1)       ---------------------   * q
                  (k-1)! * (n-k+1)!

  

Wo bleibt bei dem p(X=k) die  p^k * q^n-k   und bei (P=k-1) die  p^k-1 * q^n-k+1 ??