Lineare Differentialgleichung: z'= tz*sin t mit Anfangsbedingung z(0)= 0

Question

ich habe folgendes Problem, was ich bis morgen lösen soll/muss :$

"Bestimmen Sie die Lösung der linearen Differentialgleichung z'= tz*sin t mit Anfangsbedingung z(0)= 0"

Über dem ersten z steht noch ein kleiner Punkt, was glaube ich für die erste Ableitung nach der Zeit steht. Leider habe ich überhaupt keine Ahnung von Differentialgleichungen erstellen oder ähnliche.

Kann mir bitte jemand weiterhelfen? Das wäre sehr nett :-)

Answer 1

$$ \dot  z= t \cdot z \cdot \sin (t) $$
$$ \frac{dz}{dt}  = t \cdot z \cdot \sin (t) $$
$$ \frac1z \,\frac{dz}{dt}  = t  \cdot \sin (t) $$
$$ \int \, \frac1z \,\frac{dz}{dt} \, dt =  \int \,t  \cdot \sin (t) \,dt$$
$$ \int \, \frac1z \, \, dz=  \int \,t  \cdot \sin (t) \,dt$$

reicht das als Starthilfe ?

Comments

ohja das hilft mir echt schon viel weiter. Vielen Dank, habe zwar eben versucht schnell was im Buch mir darüber anzueignen, aber hat nicht so wirklich funktioniert.

Ich muss jetzt beide Seiten Integrieren und dann anschließend die Gleichung noch ein wenig Umformen also alle auf eine Seite bringen. Seh ich das richtig?

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Die Technik nennt sich Trennung der Variablen - es muss nicht alles auf eine Seite.

Mach erst mal die Integrale ...

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Ich habe nun beide Seiten integriert. Aus der linken Seite wurde ln z und aus der rechten mittels partieller InteGraTion

Wurde daraus -t*cos*+sin. Das ganze hab ich jetz noch Entlogarithmiert und hab zum schluss

z=exp(-t*cos+sin) +C

Ist das so richtig?

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Ziemlich richtig.

Beim Exponieren (ln wegmachen) ist die Integrationskonstante C zunächst als Summand im Exponenten.

Wenn man es da rausholt, wird sie zum Faktor.

Also nur ein * anstelle dem + vors C, dann passts.

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Okay super vielen Dank :)