Question

Untersuche, die folgende Relation auf Eigenschaften Reflexivitat, Symmetrie, Antisymmetrie, Transitivitat, Aquivalenzrelation oder Halbordnungsrelation erfüllen.

$$X = \mathbb{C}$$

$$(z_1,z_2) \Leftrightarrow Re(z_1) \leq Re(z_2)$$

Ich kenne die meisten Relationseigenschaften zB reflexive, symmetric, antisymmetric und transitive.

Ich habe mir gedacht:

$$z_1 = a+bi$$ und $$Re(z_1) = a$$

$$z_2 = c+di$$ und $$Re(z_2) = c$$

Also

$$(a+bi,c+di) \Leftrightarrow a \leq c$$

Aber ich weiß nicht ob das nützlich ist oder wie ich von hier weiterkomme, vielleicht auch weil alle unseren bisherigen Beispiele etwa so waren:

$$X = \left \{a,b,c\right \},$$ $$R=\left \{(a,a),(a,b),(b,c)\right \}$$

Answer 1

Das war  ein guter Anfang:
(a+bi , c + di) ⇔ a ≤ c
für reflexiv musst du dann testen, ob
(a+bi , a + bi) immer zur Relation gehört.  Klar, weil a ≤ a stimmt.

Symmetrie  hieße  (a+bi , c + di) aus R, dann auch (c+di,a+bi ) aus R
(a+bi , c + di) aus R
⇔ a ≤ c  Dann aber nicht immer  c ≤ a  , also nicht symm.

Antisymmetrie war wohl     (a+bi , c + di) aus R  und (c+di,a+bi ) aus R  dann   a+bi =c + di
Stimmt auch nicht, denn wenn a ≤ c  und c ≤ a dann ist zwar a=c aber b und d können unterschiedlich sein.

transitiv
(a+bi , c + di) aus R  und (c+di,e+fi ) aus R   dann   (a+bi , e + fi)
gilt, denn   a ≤ c  und c ≤ e   gibt   a ≤ e 

Äquivalenz nicht (s.o.) weil. z.B. nicht symm.

Halbordnung nicht, weil nicht antisymm.