arctan(2*x) = 2*arccos(x) die Lösungsmenge bestimmen.

Question

Von arctan(2*x) = 2*arccos(x) soll die Lösungsmenge bestimmen. Ich weiß, dass man Umformungen durchführen kann,komme aber dennoch nicht auf die Lösung. Kann es mir jemand Schritt für Schritt erklären?

Bin am verzweifeln

Answer 1

Ich werde das ganze mal von Wolframalpha lösen lassen.

Comments

Daumen hoch für Wolfram Alpha ;)

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Danke für Ihre Antwort.
Jedoch wie kommt man bitte auf den 2. Schritt?

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Da muss man ein bisschen mit den Identitäten, die zwischen den trigonometrischen Funktionen gelten, und den Additionstheoremen spielen:

Anwenden des Tangens auf beiden Seiten liefert

$$ 2x =  \tan(2\arccos x) .$$

Jetzt muss man den Tangens in Abhängigkeit von \( \cos\left(\frac{1}{2} y\right) \) darstellen, damit man durch einsetzen von \( y=2\arccos x\) dann \( \cos(\arccos x) = x\) erhält. Es gelten folgende Identitäten:

$$ \cos^2 y + \sin^2 y = 1 \tag{1} $$

$$ \sin(y) = \sin(0.5y+0.5y) = 2\cos(0.5y)\sin(0.5y) \tag{2} $$

$$ \cos(y) = \cos(0.5y + 0.5y) = \cos^2(0.5y)-\sin^2(0.5y) \overset{(1)}{=} 2\cos^2(0.5y) - 1 \tag{3}$$

So erhält man nun

$$ \tan y = \frac{\sin y}{\cos y} \overset{(2)}{=} \frac{2\cos(\frac{1}{2}y) \sin(\frac{1}{2}y)}{\cos(y)}       \overset{(1)}{=}   \frac{2\cos(\frac{1}{2}y) \sqrt{1-\cos^2(\frac{1}{2}y)}}{\cos(y)}    \overset{(3)}{=}    \frac{2\cos(\frac{1}{2}y) \sqrt{1-\cos^2(\frac{1}{2}y)}}{  2\cos^2(\frac{1}{2}y) - 1  } $$

und jetzt muss man nur noch \( y=2\arccos(x) \) einsetzen und ist fertig.

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Danke für die ausführliche Erklärung. Ich bin im zweiten Semester Elektrochnik und so wie dus mir erläuterst hatten wir es nie und ich verstehe es nicht.  Zur Aufgabe gab es folgende Hinweise:

1. arctanx=arcsin(x\wurzel 1 + x^2)

2. arcsinx + arccosx = pi\2

3. sin(x1 +- x2) = sinx1 * cosx2 +- cosx1 * sinx2

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Du hast doch dann bereits alles gegeben was zur Lösung notwendig ist.

ARCTAN(2·x) = 2·ARCCOS(x)

ARCSIN((2·x)/√(1 + (2·x)^2)) = 2·ARCCOS(x)

ARCSIN(x) + ARCCOS(x) = pi/2 --> ARCCOS(x) = pi/2 - ARCSIN(x)

ARCSIN((2·x)/√(1 + (2·x)^2)) = 2·(pi/2 - ARCSIN(x))

ARCSIN(2·x/√(4·x^2 + 1)) = pi - 2·ARCSIN(x)

SIN(ARCSIN(2·x/√(4·x^2 + 1))) = SIN(pi - 2·ARCSIN(x))

SIN(x ± y) = SIN(x)·COS(y) ± COS(x)·SIN(y)

2·x/√(4·x^2 + 1) = SIN(pi)·COS(2·ARCSIN(x)) - COS(pi)·SIN(2·ARCSIN(x))

2·x/√(4·x^2 + 1) = 0 - (-1)·SIN(2·ARCSIN(x))

2·x/√(4·x^2 + 1) = SIN(2·ARCSIN(x))

SIN(2·x) = SIN(x + x) = SIN(x)·COS(x) + COS(x)·SIN(x) = 2·SIN(x)·COS(x)

2·x/√(4·x^2 + 1) = 2·SIN(ARCSIN(x))·COS(ARCSIN(x))

2·x/√(4·x^2 + 1) = 2·x·√(1 - x^2) --> x = 0

1/√(4·x^2 + 1) = √(1 - x^2)

√(1 - x^2)·√(4·x^2 + 1) = 1

(1 - x^2)·(4·x^2 + 1) = 1

- 4·x^4 + 3·x^2 + 1 = 1

- 4·x^4 + 3·x^2 = 0

4·x^4 - 3·x^2 = 0

x^2·(4·x^2 - 3) = 0

x = 0 oder x = ± √(3/4) = ± √3/2

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Endlich hab ichs kapiert... Danke an Alle!!!