Nach wie vielen Jahren muss die Deponie geschlossen werden?

Question

In einer Gemeinde fallen im ersten Jahr nach der Fertigstellung einer Mülldeponie 27000 m^3

Müll an, im zweiten Jahr 28350m^3.Das Wachstum der anfallenden Müllmenge erfolgt geometrisch. Insgesamt bietet die Mülldeponie Raum für 2400000m^3 Müll.

Nach wie vielen Jahren muss die Deponie geschlossen werden?

Answer 1

Bei geometrischem Wachstum, erhöht sich der Müll jedes Jahr im einen bestimmen Faktor a diesen Faktor kannst du mit:
27000/28350 = a
berechnen.
Möchtest du also den Raum,der durch Müll beansprucht wir für ein bestimmtes Jahr k  berechnen, so gilt die Formel:
27000^k = b_k
Wobei b_k der Müllgehalt im Jahr k ist.
Du musst also:
27000^k = 2400000
nach k auflösen.

Hierbei musst du den log anwenden. Weißt du,wie das geht??

Answer 2

m ( t ) = m0 * f^{ t }
m0 = 27000
m ( 1 ) = 27000 * f^{ 1 } = 28350
f = 1.05 ( 5 % pro Jahr )

2400000 = 27000 * 1.05^{ t }
1.05^{ t }= 88.88888
ln ( 1.05^{ t } ) = ln ( 88.88888 )
t * ln ( 1.05 ) = 4.487
t = 91.97 Jahre

Probe
m ( 91.97 ) = 27000 * 1.05^91.97 = 2400000  | stimmt

Comments

Du scheinst da so einiges zu verwechseln

Antwort ist 34,7.

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Meine Lösung ist nicht richtig. Schau einmal hier

https://www.mathelounge.de/7465/geometrisches-wachstum-zeit-berechnen-mulldeponie-voll-ist

Es handelt sich um eine geometrische Reihe.

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Wachstumsfaktor
q = 28350 / 27000 = 1.05

27000 + 27000 * 1.05 + 27000 * 1.05^2 ... + 27000 * 1.05^{n-1} = 2400000

geometrische Reihe: a₁ = 27'000, q = 1.05

Formel
s_n =a₁ ( 1-qⁿ ) / ( 1-q )           
s_n =27000 (1-1.05ⁿ ) / (1-1.05 ) = 2400000
1-1.05^{n  =} - 4.4444          
1.05^n = 5.4444
n * ln ( 1.05 ) = ln ( 5.4444 )
n = 34.73

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34.73 ist richtig.

Vielen Dank Georg.