Zeige lineare Unabhängigkeit der Zeilen einer Matrix in Zeilenstufenform.

Question

gegeben ist eine Matrix \( A = (a_{ij}) \in M (m \times n; K) \) eine Matrix in Zeilenstufenform, so sind die ersten \( r \) Zeilen \( v_1, ..., v_r\) von \( A \) linear unabhängig. Ist nämlich

A  = (  |\(a_{1j_1} \)

|\( a_{2j_2} \)

...

|\(a_{rj_r} \)________

)

(ich hoffe es ist klar, es sollte eine Matrix in Zeilenstufenform sein)

so folgt aus \( \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_r v_r = 0 \) zunächst \( \lambda_1 a_{1j_1} = 0\) also \( \lambda_1 = 0 \) wegen \( a_{1j_1} \not = 0 \).

Meine Frage ist, warum geht man hier direkt von \( \lambda_1 a_{1j_1} \) aus? Die erste Zeile kann doch anders aussehen d.h. hinter \(a_{1j_1} \) kann noch etwas stehen.

Das war meine erste Frage. Zweite Frage ist, was haben Zeilen einer Matrix mit dem Thema lineare Unabhängigkeit und Vektorräume zu tun. Ich weiß z.B. dass eine Menge der Matrizen mit m Zeilen und n Spalten und Einträgen aus einem Körper ein Vektorraum bilden. Die Elemente sind also Matrizen und nicht Zeilen der Matrizen. Was soll denn also eine Zeile sein?

Answer 1

Zu deiner ersten Frage:
$$ \lambda_1 v_1 + ... + \lambda_r v_r = 0$$
Das soll doch heißen, dass wir alle Zeilen aufeinanderaddieren.Die Elemente der Zeilen,die sich untereinader befinden sollen also aufeinander addiert werden, sodass sich in jeder Spalte eine 0 befindet.
Hier noch mal eine Matrix in Zeilestufenform:

a b c d
0 e f g
0 0 h i

Addieren wir jetzt spaltenweise die Elemente aufeinander mit einem Vorfaktor, so sehen wir, dass wir in der ersten Spalte nur das Element a haben. Unser Vorfaktor Lambda muss also,wie in der Aussage =0 sein, damit wir in dieser Spalte eine Null erhalten.


Zur zweiten Frage:
Ich bin jetzt relativ unsicher, was genau deine Frage ist.
Zeilen einer Matrix können linear Abhängig bzw. linear Unabhängig. Aufgrund dieser Tatsache kann man den Matrizzen verschiedene Eigenschaften zuweisen. Das ist auch relativ weitgreifend. Sind die Zeilen einer Matrix z.b. linear Abhängig, so weiß man, dass die Determinante der Matrix = 0 ist.Es gibt aber noch viel mehr Themen, bei denen man die lineare Abhängigkeit von Zeile der Matrix untersuchen muss.

"
Ich weiß z.B. dass eine Menge der Matrizen mit m Zeilen und n Spalten und Einträgen aus einem Körper ein Vektorraum bilden. Die Elemente sind also Matrizen und nicht Zeilen der Matrizen. Was soll denn also eine Zeile sein? "

Du weißt was ein Vektorraum ist? Ich verstehe deine letzte Frage leider auch nicht genau.

Comments

Marvin812, danke.

Die erste Frage hat sich geklärt.

Bei der zweiten Frage meine ich folgendes: Ich nehme mir Elemente aus einer Menge. Das sind Vektoren (Zeilen) einer Matrix und untersuche ob sie linear unabhängig sind. Die Elemente müssen aus einem K-Vektorraum stammen (so habe ich das bis jetzt gelernt). Meine Frage ist, was ist hier der K-Vektorraum? Ich würde sagen, V ist die Menger aller Zeilen (Vektoren) aus jeder Matrix (denn aus einer Matrix würde meiner Meinung nach weniger Sinn machen). Somit bildet diese Mengen ein K^n Vektorraum. Kann man das so betrachten?

---

Somit bildet diese Mengen ein K- Vektorraum   !

und zwar den K^n . Kann man das so betrachten?

So ist es, und der Körper ist der, aus dem die Matrixelemente sind.

---

mathef, genauso habe ich das gemeint! Danke Euch!!!