Wie viele Möglichkeiten gibt es in einem magischen Quadrat (3*3) für S= 12?

Question

Aufgabe:

Ein magisches Quadrat ist eine schachbrettartige Anordnung der Zahlen 1, 2, ..., n² so dass die Summe \( s \) der Zahlen in den Spalten, Zeilen und Diagonalen übereinstimmt.

Nun werden beliebige (nicht notwendigerweise verschiedene) natürliche Zahlen \( a, b, c, \ldots \in \mathbb{N} \) zugelassen. Wie viele Möglichkeiten gibt es bei einem Ouadrat mit 9 Feldern für \( s=12 \)?

Hinweis: Zeigen Sie, dass für ein Quadrat mit 9 Feldern die Lösung bereits durch die Angabe von \( b, c \) und der Summe \( s \) eindeutig festgelegt ist. Drücken Sie dazu insbesondere \( a \) und \( d \) durch \( b \), \( c \) und \( s \) aus. Welche Bedingungen müssen b und c erfüllen, damit alle Einträge ganzzahlig sind? Welche Bedingungen müssen gelten, damit alle Einträge positiv sind?

Quelle: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg63/index_s.html#Links

Answer 1

Hast du es denn schon mal mit dem Hinweis versucht?

Das allgemeine Quadrat ist ja in der Aufgabenstellung angegeben. Folge dem Hinweis, der dir tatsächlich zeigt, dass wenn du b und c gegeben hast (s ist ja 12) alle möglichen Quadrate eindeutig festgelegt sind. Insbesondere wenn du mal a und d in Abhängigkeit von b und c berechnest dann siehst du, dass es eine gewisse Einschränkung für die Wahl von b und c gibt.

Wenn man diese Einschränkung berücksichtigt erhält man die Antwort, dass es 25 verschiedene Quadrate gibt.

Comments

Also d muss ja 5 sein oder? Weil der Median von den Ziffern 1-9 die man verwenden kann 5 ist. Das sind doch die natürlichen Zahlen oder?

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Ja, aber in der Aufgabe steht doch ausdrücklich, dass jede Zahl mehrfach verwendet werden kann und nicht nur einmal vorkommen muss, also wieso die Argumentation mit dem Median?

Halte dich an den Hinweis....

Hast du wenigstens schon die Gleichungen mal aufgeschrieben?

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Wenn du einfach mal den ersten Schritt in Richtung Hinweis machen würdest....

Du hast doch 7 Unbekannte. Durch die Spalten-, Zeilen-, und Diagonalen-Summen erhältst du 8 Gleichungen. (Hier sollte eigentlich schon klar sein, dass wenn eine Lösung existiert, diese auch eindeutig ist).

Wenn du mit diesen Gleichungen ein bisschen rumhantierst kannst du herleiten, dass:

$$ a = 8- \frac{b+c}{2} \wedge d = 4 $$

gelten muss. Bestimme noch die anderen Unbekannten in Abhängigkeit von \(b\) und \(c\) und sehe, dass die Wahl für \(b\) und \(c\) das Quadrat eindeutig festlegen! Was für Einschränkungen für \(b\) und \(c\) gelten müssen, damit alle Voraussetzungen erfüllt sind, kannst du dann ja gut überblicken.

Aber:

Aus den expliziten Darstellung für \(a\) und \(d\) ergeben sich im Grunde schon alle Einschränkungen die zu berücksichtigen sind!

Answer 2

42 da 12! Durch den Kehrbruch des Binomialkoeffizienten dieses Ergebnis liefert.
Mfg.

Comments

Ähm danke sehr, ich weiß was Fakultät bedeutet aber ich bräuchte ab da nochmal ein paar Zwischenschritte... Wäre sehr nett!

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Die Lösung wird als falsch angegeben: http://mo.mathematik.uni-stuttgart.de/inhalt/interaufg/interaufg63/index_s.html#Links

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Das liegt auch daran, dass die Lösung falsch ist.