Unbestimmtes Integral ohne Integraltafel lösen

Question

kann mir bitte jemand Schritt für Schritt erklären, wie man folgendes Integral OHNE einer Integraltafel lösen kann:

Integral [1 - 2sin(x)] / cos²(x)

Answer 1

[1 - 2sin(x)] / cos²(x)

[1 / cos²(x)           -   2sin(x) / cos²(x)

Der Minuend ( das vor dem minus) erinnert doch an die Abl. von tan

und der Subtrahend  ist ja     2sin(x)   *  cos^-²(x)

also hat der was mit der Ableitung von cos^-1(x) zu tun

denn das gibt mit Kettenregel  -1 * cos^-²(x)* ( -sin(x)) = cos^-²(x)* sin(x)

Damit du auch die 2 bekommst, musst du also mit   2* cos^-1(x)

beginnen und wenn du das ableitest, passt es, also ist das eine

Stammfunktion für den Subtrahenden.

Answer 2

Hallo

Schau es Dir an.

Comments

Super, Danke euch! =)

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Eine Frage hätte ich jetzt doch noch.

Muss man bei einer Substitution nicht immer alle x durch in deinem Fall z ersetzten?

Weil du lässt das sin(x) ja einfach unbehandelt stehen, was in diesem Fall ja super ist, weil es sich dann mit dem Nenner von du kürzen lässt.

Nur ich dachte immer, man müsse bei einer Substitution alle Parameter (in diesem Fall x) durch den neu gewählten Parameter (in diesem Fall z) ersetzten.

Dazu müsste man ja dann z = cos(x) nach x auflösen und dann in das x aus sin(x) einsetzten, oder täusche ich mich da?

Danke erneut!

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Was man kürzen kann , macht man, da brauch nichts umgewandelt werden.