Differentiation einer Funktion mit unbekannter Basis und unbekanntem Exponenten.

Question

kann mir jemand helfen folgende Funktion zu differenzieren: f(x)= x^x ? Ich stehe da irgendwie total auf dem Schlauch ^^.

Answer 1

f(x) = x^x = EXP(LN(x^x)) = EXP(x * LN(x))

Nun Ableiten nach Kettenregel

f'(x) = EXP(x * LN(x)) * (1 * LN(x) + x * 1/x)

f'(x) = x^x * (LN(x) + 1)

Comments

Okay danke erstmal, aber wie genau kommst du auf e^(x*ln(x))? Ich meine ich verstehe deine Rechnung, aber gibt es keine andere Möglichkeit das zu berechnen, sondern nur auf diesem Weg oder hat das etwas damit zu tun, dass der natürliche Logarithmus die Umkehrfunktion der e-Funktion ist? Ich wäre nämlich nie auf die Idee gekommen, die Gleichung auf diese Art umzuformen.

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Ja. EXP(x) = e^x und LN(x) sind Umkehrfunktionen und können gemeinsam auf eine Funktion angewendet werden.

Wie leitest du 2^x ab ?

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y=2^x / lnln(y)= ln(2^x) / ee^log(y)= e^{x*ln(2) / Ableiten}y^/= e^x*ln(2) * 1*ln(2) * x * 1/2
Ähm, so ungefähr... ^^ Aber das ist glaube ich falsch, weil man hier mit dem "log" rechnen muss oder?

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Ich mache das auch durch um schreiben

f(x) = 2^x = EXP(LN(2^x)) = EXP(x * LN(2))

Ableiten nach Kettenregel

f'(x) = EXP(x * LN(2)) * (1 * LN(2)) = 2^x * LN(2)

Das ist eigentlich genau das gleiche Prinzip was ich auch bei x^x anwende.

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Ok vielen Dank, aber ich habe noch eine Frage: Ist die zweite Ableitung von x^x zufällig = x^x * ln(x) +1 *x² +2x * x^x ?

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Ich habe etwas anderes heraus für die Ableitung.

f(x) = x^x

f''(x) = x^x·(LN(x)^2 + 2·LN(x) + 1 + 1/x)

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Ich habe glaube ich meinen Fehler gefunden (Klammer vergessen :/ ) Aber ich habe trotzdem noch ein Problem.

f'(x) = x^x * (LN(x) + 1) I ln

ln(f'(x)) = ln(x^x * (LN(x) + 1))

ln(f'(x)) = ln(x^x) + ln(ln(x)+1) I e^...

e^ln(f'(x)) =  e^x*ln(x) + e^ln(ln(x)+1) I Summenregel

f'(x)₁ = e^x*ln(x)

f''(x)₁ = f'(x) = x^x * (LN(x) + 1) 

f'(x)₂ =  e^ln(ln(x)+1) I Kettenregel

u= e^x  und v= ln(ln(x)+1)

u' = e^ln(ln(x)+1) 

Für v'   Kettenregel nutzen

w= ln()

z= ln(x) +1

w'= 1/ ln(x)+1

z'  = 1/ x

v'  =  1/ (ln(x)+1)*x I einsetzen

 d/dx * e^ln(f'(x)) =  x^x * (LN(x) + 1) + e^ln(ln(x)+1) * 1/ (ln(x)+1)*x / * (ln(x)+1)

(ln(x)+1) * f'(x) * e^{ln(f'(x)) =} x^x * (LN(x)² + 2) + e^ln(ln(x)+1) * 1/x

So weit bin ich momentan gekommen und das ist deiner Lösung zumindest ähnlich. Aber ich muss wahrscheinlich wieder irgendetwas falsch gemacht haben, weil weiter als bis hierhin komme ich nicht. Die linke Seite der Gleichung sieht auf jeden Fall mal falsch aus. Kannst du mir bei der Lösung vielleicht noch mal helfen :).

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Bei der zweiten Ableitung kannst du dir den ganzen Krempel sparen. Einfach Produktregel anwenden.

f(x) = x^x · (LN(x) + 1)

f'(x) = [x^x]' · (LN(x) + 1) + x^x · [(LN(x) + 1)]'

Alles was du brauchst sind die Ableitungen. Die von x^x kennst du ja aber bereits. Die brauchst du also nicht nochmals herleiten.

f'(x) = x^x · (LN(x) + 1) · (LN(x) + 1) + x^x · 1/x

Zusammenfassen solltest du auch selber können denke ich.

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Oh man, das war zu einfach ^^. Vielen dank nochmal für die Hilfe.

Answer 2

Potenzfunktionsregel----> Ableitungsregeln  ------>  x^x (ln(x) +1) !

Comments

Nur interessehalber. Wie geht das mit der Produktregel?

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Korrektur ---->Regel für Potenzfunktion anwenden !!

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Und wo wendest du hier die Potenzregel an ?

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d/dx → (u(x) ^v(x)) ´

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Nur muss eine solche Regel erstmal bewiesen werden. Und das geht mit dem "Umweg" über \(\exp(\ln(...))\).

Answer 3

man spricht hier von der log. Differentiation.

ln (y)= x *ln (x)

y'/y= ln (x) + 1 (Produktregel)

y' = (ln (x) +1) *x^x

Answer 4

Hallo. Es gibt, wie so oft, mehr als eine Möglichkeit, die hier in Frage kommt. Das bedeutet natürlich auch, dass es durchaus interessant sein könnte, sich mal mindestens zwei Möglichkeiten anzuschauen. Im folgenden Link werden die beiden Standardwege übersichtlich kurz, aber dennoch vollständig und sachlich richtig, beschrieben und verglichen:

https://de.wikipedia.org/wiki/Implizite_Differentiation#Beispiel_1

Answer 5

Es  gibt da zwei Möglichkeiten, was du tun könntest. Sehr bewährt hat sich die Technik des ===> logaritmischen Differenzierens ( LD )  da dies die Rechenstufe vermindert

ln  (  y  )  =  x  ln  (  x  )     (  1a  )

y  '  /  y  =  ln  (  x  )   +  1     (  1b  )

und jetzt nur noch nach y ' umstellen. Ach kleine Hausaufgabe; WARUM hat y = x ^  k für alle noch so krummen k € |R  Ableitung y ' = k x ^ ( k - 1 ) ? Begründe wieder mit der Technik des LD .

Es gilt aber auch eine Metode analog der Produktregel; erst Ableiten nach der Basis; dann nach dem Exponenten.

f  (  x  )  :=  x  ^  x     (  2a  )

f '  (  x  )  =  x  ^  (  x  -  1  )  +  x  ^  x  ln  (  x  )     (  2b  )

Naa stimmts?