Konstante einer quadratischen Funktion berechnen

Question

Mein Beispiel lautet:

Sie schlagen einen Golfball über einen ebenen Platz. Die Flugbahn des Golfballes kann näherungsweise (ohne Berücksichtigung des Luftwiderstandes) durch den Funktionsterm f_(x) = a*(0,5*x-0,007*x²) (Maße in Metern) beschrieben werden, wobei a eine noch zu bestimmende Konstante ist.

a) Die Bahnkurve des Balls erreicht eine maximale Höhe von drei Metern. Erklären Sie, wie man aus dieser Bedingung die Konstante a in der Funktionsgleichung f(x) mithilfe der Differentialrechnung berechnen kann.

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Ich hab absolut keine Ahnung wie ich das rechnen soll (da wir noch nie so ein Beispiel in der Schule hatte).

Ich bitte euch um Hilfe.

Answer 1

DIfferentialrechnung ist doch ein Hinweis: Du sollst ableiten:

f(x)= a*(0,5*x-0,007*x²)

f´(x)=a*(...)  ... du musst noch das Innere der Klammer ableiten.

Das schaffst du, ober? Das a kannst du einfach außerhalb der Klammer stehen lassen (Faktorregel).

Wenn du dann die notwendige Bedingung für Extrema benutzt (f´(x)=0), ändert das a sowieso nichts.

Das Ergebnis ist die Stelle, bei der der Ball die größte Höhe erreicht.

Diese Zahl (die genau zwischen den Nullstellen von 0,5*x-0,007*x² liegen muss,) setzt du dann in f ein.

Der Funktionswert der dann herauskommt, muss gleich 3 sein.

Damit hast du eine einfache Gleichung (und zwar eine lineare), mit der du den Parameter a bestimmen kannst. Es sollte etwas negatives rauskommen, da eine Wurfparabel nach unten geöffnet ist.

Geht es damit oder hast du noch fragen?

Gruß

Bräsig

Comments

Wenn a negativ ist, ist die Parabel nach oben geöffnet.

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Danke für den Hinweis. Du hast natürlich recht: Ich hatte nicht genau hingesehen:
da x² in der Klammer mit einem negativen Vorfaktor versehen ist, hat f einen negativen Leitkoeffizienten, wenn a positiv ist.

Answer 2

f_(x) = a*(0,5*x-0,007*x²)

Hochpunkt : 1.Ableitung  = 0
f ´( x ) = a * ( 0.5 - 0.014 x )
Ein Produkt ist dann 0 wenn mindestens einer der Faktoren 0 ist
0.5 - 0.014 x = 0
x = 35.71 m

größte Höhe am Hochpunkt bei x = 35.71 m
f ( 35.71 ) =  a*(0,5*35.71 - 0,007*35.71²)  = 3
a*(0,5*35.71 - 0,007*35.71²)  = 3
a * ( 17.855 - 8.926 ) = 3
a = 0.336

f ( x ) = 0.336 *  (0,5*x-0,007*x²)

~plot~ 0.336 * ( 0.5 * x - 0.007 * x^2 ) ; [[ 0 | 71 | 0  | 3 ]] ~plot~