Umkehrfunktion mit Logarithmus auflösen y= 2e^{x-0,5} Ergebnis ist y=lnx+0,5-ln2

Question

ich habe ein Studium angefangen. Leider liegt die Schulzeit bei mir viele Jahre zurück und ich fange an Mathe von 0 auf zu lernen. Besonders der Logarithmus bereitet mir große Schwierigkeiten.

 

Könnt ihr mir bitte helfen, wie formt man y= 2e^{x-0,5} so um, sodass das die Umkehrfunktion

 y=lnx+0,5-ln2 ist?

Diese Aufgabe ist vom Papula Buch Band 1 und leider ist kein Lösungsweg angegeben.

Comments

Siehe auch passende Videos zum Logarithmus.

Insbesondere Lösen von Exponentialgleichungen mit Logarithmus:

Quelle: https://www.matheretter.de/wiki/exponentialgleichung

Answer 1

Hi,

 

In der Schule wird die Umkehrfunktion meist so bestimmt, dass x und y ausgetauscht wird und nach y aufgelöst wird:

y= 2e^x-0,5

Vertauschen:

x= 2e^y-0,5  |:2

x/2=e^y-0,5  |Logarithmus

ln(x/2)=y-0,5  |+0,5

y=ln(x/2)+0,5

 

Hier wäre ich eigentlich schon fertig. Im Buch wurde noch das Logarithmengesetz ln(a/b)=ln(a)-ln(b) verwendet:

y=ln(x/2)+0,5

y=ln(x)-ln(2)+0,5

 

Grüße

 

Comments

ah vielen dank für die schnelle Antwort.

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Gerne :)        .

Answer 2

Du musst die Funktionsgleichung nach x auflösen und dann noch x und y austauschen.

y= 2e^x-0,5             I ln

ln(y) = ln(2*e^{x-0.5})

             | Logarithmengesetze anwenden

ln(y) = ln(2) + ln(e^{x-0.5})

              | ln ist Umkehrung von e^
               |deshalb Kombination der beiden einfach weglassen.

lny = ln2 + (x-0.5)       |x isolieren

lny + 0.5 - ln2 =x

Jetzt noch Variabelnamen vertauschen (typisch Mathematik! nicht üblich bei ökonomischen Fragestellungen)

Ergebnis y=lnx+0,5 - ln2 stimmt.