Seien U und Ω offene Teilmengen der Banachräume X und Λ.
a)
Sei F: U×Ω→X(x,λ)↦F(x,λ) lokal gleichmäßg lokal Lipschitz-stetig bezüglich x sowie stetig bezüglich λ. Zeigen Sie, dass F stetig ist
b)
Zeigen Sie, dass eine Funktion F: U×Ω→X(x,λ)↦F(x,λ) genau dann lokal Lipschitz-stetig ist, wenn Sie sowohl lokal gleichmäßig lokal Lipschitz-stetig bezüglich x als auch lokal gleichmäßig lokal Lipschitz-stetig bezüglich λ ist.
Für die lokale Gleichmäßigkeit gilt:
Es gibt zu jedem λ0∈Ω ein r>0 und ein L≥0, so dass die Abschätzung
d(F(x,λ),F(y,λ)) = L d(x,y) für alle x,y∈X (metr.Raum) und alle z∈Br(λ0)
