Bestimme die gekürzte Darstellung der rationalen Funktion (x^4 + 2x^3 - 2x - 1)/ (x^4 - x^3 + 3x^2 + x - 4)

Question

Ich bräuchte hier Hilfe bei der Lösung. Und es wäre nett wenn jemand mir erklären würde was in Aufgabe b) genau verlangt wird.

"und sei" am Ende von b) ist nicht zu beachten.

Danke

Bestimmen Sie die gekürzte Darstellung der rationalen Funktion ... durch Berechnung des ggT mit dem Euklidischen Algorithmus. Seien ... zwei Polynome von Grad n > 1, wobei wir ggT vorausetzen und keine reellen Nullstellen besitzen soll...

Comments

So weit ich weiss, musst du bei diesem Algorithmus so lange Polynomdivisionen durchführen bis der Rest 0 ist. Ähnlich wie beim Bestimmen des ggT sonst.

Mit Polynomdivision in Z3: (Also modulo gerechnet) https://www.mathelounge.de/26590/polynomdivision-in-z3-bzw-ggt-von-zwei-polynomen

und hier https://www.mathelounge.de/23036/zeige-das-die-polynome-und-teilerfremd-sind-und-bestimme-und

Link zu einer solchen Lösung mit Zahlen folgt hier:…

Antwort von Anonym bei: https://www.mathelounge.de/27083/finden-sie-ganze-zahlen-x-y-so-dass-gilt-x-161-y-126-ggt-161-126

und

https://www.mathelounge.de/7306/euklidischer-algorithmus-zerlegung-zum-ggt-will-nicht

Answer 1

(x^4 + 2·x^3 - 2·x - 1)/(x^4 - x^3 + 3·x^2 + x - 4) = 1 Rest (3x^3 - 3x^2 - 3x + 3)

(x^4 - x^3 + 3·x^2 + x - 4)/(3x^3 - 3x^2 - 3x + 3) = 1/3x Rest (4x^2 - 4)

(3x^3 - 3x^2 - 3x + 3)/(4x^2 - 4) = 3/4x - 3/4 Rest 0

GGT ist hier also 4(x^2 - 1)

Ich kürze mal durch x^2 -1

(x^4 + 2·x^3 - 2·x - 1)/(x^4 - x^3 + 3·x^2 + x - 4) = (x^2 + 2x + 1)/(x^2 - x + 4)

Answer 2

a)  x^4+2x^3-2x-1= (x-1)*(x+1)³

      x^4-x^3+3x^2-x-4=(x-1)*(x+1)-(x-x+4)

      gekürzte Fassung

       (x+1)²/(x²-x+4)

Tip:Film :Vorlesung von Spannagel der Euklidsche Algorithmus ´+ggT, siehe youtube