b-adische Darstellung von y € (0,1) soll periodisch sein und damit soll y € der rationalen Zahlen sein

Question

Hallo ihr lieben,

Ich soll zeigen, dass wenn die b-adische Darstellung von y€(0,1) schließlich periodisch ist, ist y€ der rationalen Zahlen.

Die Aussage verstehe ich und sie ist ja auch logisch wenn man sich das vor Augen führt,aber wie soll man das beweisen? 

Einen schönen Samstag!

Answer 1

Multipliziere mal erst mit b^n so, dass die Perode direkt hinter dem Komma beginnt.

wenn dann a1a2...an die Ziffernfolge ist, die sich wiederholt ist das ganze doch eine

geometrische Folge mit Anfagsglied 0,a1a2...an und  q= b^-n .

Darauf wendest du die Formel für den Grenzwert der geometrischen Reihe und

hast das rationale! Ergebnis.

Comments

Das ist jetzt vielleicht eine blöde Frage,aber mit was muss ich b hoch n denn multiplizieren weil ich weiß ja nur das es eine Zahl zwischen 0 und 1 ist...

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schließlich periodisch heißt doch:

Es gibt ein k aus No mit b^k * z ist eine

periodische Zahl.   Mit diesem k rechnest

du b^k .

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also ich sitze immer noch an dieser Aufgabe und habe versucht mit deinen Tipps weiterzukommen aber das ist leider zu keinem Ergebnis gekommen...

Hast du vielleicht noch einen Tipp? Oder kannst du deine Worte noch ein bisschen mehr strukturieren? 

Ich bin echt am verzweifeln :/ 

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Ist denn der Anfang klar mit dem Multiplizieren

mit dem b^k   ?

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Das b schon, aber das k nicht

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wenn du z.B. eine Zahl hast wie 0,324periode57

dann ist die ja SCHLIESSLICH periodisch, weil die

Periode nicht sofort hinter dem Komma beginnt, sondern eben

erst an der 4. Stelle hinter dem Komma.

Wenn sie aber sofrot hinter dem Komma

beginnen soll (Damit das mit der geo. Reihe

klappt.) dann muss man das Komma um

drei (Das ist das k) Stellen verschieben. Im

Zehnersystem also mal 1000 nehmen, im allgemeinen

b-adischen System mal b^3 .