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Ich komme bei folgender Aufgabe irgendwie nicht weiter. Bzw. weiß ich nicht mal wie ich anfangen soll. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Sei f: A -> B eine Abblildung. Beweisen Sie, dass die folgenden drei Aussagen logisch äquivalent sind.
a) f ist injektiv.
b) b∈B:f−({b}) enthält höchstens ein Element.
c) ∃g:B→A:f∘g=ΔA.

Ich wäre euch sehr dankbar dür eine Antwort, auch wenn ich keinen Lösungsansatz habe. Ich weiß nicht wie ich das beweisen soll...

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1 Antwort

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a) f ist injektiv.

heißt:   Für alle x,y aus A:

wenn f(x) = f(y) dann   x=y .

Sei also b aus B. Dann gibt es zwei Fälle:

b ∉ Im(f), dann ist f-1({b})= ∅, enthält also kein Element,also

in der Tat höchstens eins.

b ∈ Im(f),dann gibt es x aus A mit f(x) = b.

Also x in  f-1({b})

Gäbe es ein weiteres y in   f-1({b})  ,

also auch f(y) = b dann ist

wegen der Injektivität  x=y .

Also in der Tat genau ein Element in   f-1({b})  ,

Also:

b) Für alle b∈B:f−({b}) enthält höchstens ein Element.

  c) ∃g:B→A:f∘g=ΔA.    Das Δ sagt mir nix.

Avatar von 289 k 🚀
Vielen Dank schon mal. Das kam da ein wenig falsch rüber. Das soll DREIECK mit einem Tiefgestellten A dahinter sein. Ich weiß auch nicht was das bedeuten soll.

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