Beweis ob Funktion injektiv, surjektiv oder bijektiv ist

Question

Ich komme bei folgender Aufgabe irgendwie nicht weiter. Bzw. weiß ich nicht mal wie ich anfangen soll. Vielleicht kann mir ja jemand helfen.

Sei f: A -> B eine Abblildung. Beweisen Sie, dass die folgenden drei Aussagen logisch äquivalent sind.
a) f ist injektiv.
b) b∈B:f−({b}) enthält höchstens ein Element.
c) ∃g:B→A:f∘g=ΔA.

Ich wäre euch sehr dankbar dür eine Antwort, auch wenn ich keinen Lösungsansatz habe. Ich weiß nicht wie ich das beweisen soll...

Answer 1

a) f ist injektiv.

heißt:   Für alle x,y aus A:

wenn f(x) = f(y) dann   x=y .

Sei also b aus B. Dann gibt es zwei Fälle:

b ∉ Im(f), dann ist f^-1({b})= ∅, enthält also kein Element,also

in der Tat höchstens eins.

b ∈ Im(f),dann gibt es x aus A mit f(x) = b.

Also x in  f^-1({b})

Gäbe es ein weiteres y in   f^-1({b})  ,

also auch f(y) = b dann ist

wegen der Injektivität  x=y .

Also in der Tat genau ein Element in   f^-1({b})  ,

Also:

b) Für alle b∈B:f−({b}) enthält höchstens ein Element.

c) ∃g:B→A:f∘g=ΔA.    Das Δ sagt mir nix.

Comments

Vielen Dank schon mal. Das kam da ein wenig falsch rüber. Das soll DREIECK mit einem Tiefgestellten A dahinter sein. Ich weiß auch nicht was das bedeuten soll.