Unstetigkeitspunkte bestimmen: f(x):= (x^2 - 4)/(x-2) für x≠2 und f(2):=0.

Question

ich brauche bitte hilfe und zwar muss ich die stetigkeit beweisen bzw. an welchem Punkt dieser Unstetig ist.Bitte um Hilfe !

das wäre 1.6.4 a und c

Answer 1

eine Funktion ist in x₀ ∈ D  stetig, wenn der lim_x→xo f(x) existiert und gleich f(x₀)

a)

für x≠2 ist  die Funktion als gebrochenrationale Funktion stetig.

An der Nahtstelle x = 2 gilt: 

 lim_x→2 f(x) =  lim_x→2  \(\frac{x^2-4}{x-2}\) = im_x→2  \(\frac{(x-2)(x+2)}{x-2}\) = im_x→2 (x+2) = 4 ≠ 0 = f(2)

f ist also in x=2 unstetig

b)

wie bei a) kann f nur an der Nahtstelle x=2 unstetig sein.

 lim_x→2  \(\frac{x^2-3}{x-2}\) existiert nicht, weil der Zähler gegen 1 und der Nenner gegen Null konvergiert

die einseitigen Grenzwerte streben also gegen ±∞

→ f ist unstetig in x=2

d)

f(x) =   x² -  x² + 1  =    1           für  x >1 oder x < -1    →   1     für x → ± 1

            x² + x² - 1   =  2x² - 1   für  -1 ≤ x ≤ 1                →  1     für x → ± 1  

→  lim_x→ ±1  f(x) = 1 = f (± 1)   →  f hat keine Unstetigkeitsstellen

[ dies ergibt sich auch daraus, dass f eine Komposition stetiger Funktionen ist ]

Gruß Wolfgang

Answer 2

und die Aufgabe c auch noch

~plot~ ( x^2 - x ) / abs(x) ~plot~