Aussage wahr oder falsch? Matrix/allgemeine lineare Gruppe

Question

ich muss bei den folgenden beiden Behauptungen entscheiden, ob diese wahr oder falsch sind.

Sei A ∈ M_n,n(ℝ). Falls A^k ∈ GL_n(ℝ) für ein k >0, dann auch A ∈ GL_n(ℝ).

Sei A ∈ GL_n(ℝ). Falls A ∈ GL_n(ℚ), dann ist auch A^-1 ∈ GL_n(ℚ).

Ich weiß, dass alle invertierbaren Matrizen aus Mat(n × n, K) eine Gruppe bilden, nämlich die allgemeine lineare Gruppe, die hier mit GL_n(K) bezeichnet wird. Das neutrale Element ist die Einheitsmatrix und das inverse Element entspricht der inversen Matrix.

Bin für jeden Tipp dankbar!

Answer 1

(1)  Vermutlich soll k ∈ ℕ gelten. Offenbar gilt die Aussage, falls k = 1 ist.
Sonst ist auch k - 1 > 0 und A^k-1 existiert. Außerdem existiert eine invertierbare Matrix B mit A^k·B = E. Es folgt
E = A^k·B = (A·A^k-1)·B = A·(A^k-1·B), d.h A ist invertierbar.

Comments

Vielen Dank :) Also sind doch beide Aussagen wahr.

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Die Antwort auf deine zweite Frage solltest du dir genauer ansehen.

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Für mich erscheint Aussage 2 auch richtig.

Wenn A invertierbar ist, also A ∈ GL_n(ℚ) dann ist auch die Inverse der invertierbaren Matrix A, (A^-1)∈GL_n(ℚ)
Das einzige was mich ein wenig stört ist, dass zuerst gesagt wird, dass zuerst von reellen und dann rationalen Körpern gesprochen wird..

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Eben dieser Umstand ist wesentlicher Bestandteil der zweiten Behauptung.

Answer 2

Aussage ist 2 ist definitiv wahr: Wenn A aus der linearen Gruppe ist, ist A invertierbar. Somit muss A^-1 existieren mit der Bedingung, dass ein Inverses gibt. Da es zu A^-1 Inverses gibt, ist A^-1∈ GL_n.

Bei Aussage 1 kann ich dir leider nicht sagen, ob es wahr oder falsch ist, aber ich vermute, dass es auch wahr ist

Comments

Welche Frage ist damit beantwortet?

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Vielen Dank für die schnelle Hilfe.
Dass die zweite Aussage wahr ist klingt logisch und ist für mich nachvollziehbar. :)

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Kann man die erste Aussage nicht daraus folgern, dass das Produkt aus invertierbaren Matrizen wieder invertierbar ist?