f'(0)=0? Warum? Ich lese aus der Zeichnung eher f'(0)<0. Meintest Du f(0)=0?
Eigentlich müsste auch eine Funktion 3. Grades ausreichen um den Verlauf zu beschreiben. Das müsste dann auch mit den Hinweisen ausreichen.
Nehmen wir aber zuerst die 5. Grades
$$ f(x)= ax^5+bx^4+cx^3+d^2+ex+f $$
Mit der gegeben Punktsymmetrie der Funktion kann die Funktion nur ungerade Exponenten haben also
$$ f(x)= ax^5 + cx^3 + ex $$
Leider ist dadurch jeweils einer der beiden Spiegelungswerte verbraucht. Also ergibt f(20)=-10=-f(-20) nur noch eine Gleichung. f(0)=0 ist auch schon dadurch abgedeckt ( f=0).
Das gleiche gilt für die achsensymmetrische Ableitung.
$$ f'(x)=5ax^4 +3cx^2 +e $$
Auch nur noch eine Gleichung aus f(20)=0=f(-20).
$$ f''(x)= 20ax^3 + 6cx $$
ergibt dann auch aus sich schon f''(0)=0 und somit hilft uns dieser Hinweis nicht.
Jetzt hätten wir zwei Gleichungen
$$-10=a\cdot 20^5+c\cdot 20^3+e\cdot20 $$
$$ 0=5a\cdot 20^4 +3c\cdot 20^2 +e $$
mit 3 Unbekannten... Doof.
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Mit einer Funktion 3. Grades kommt man auf
$$ f(x)=ax^3+bx^2+cx+d $$
Punksymmetrie führt zu
$$ f(x)=ax^3 + cx $$
$$ f'(x)=3ax^2 + c $$
$$ f''(x)=6ax $$
Wieder fallen die doppelten Werte Weg und auch hier gilt für f''(0)=0, dass es uns nicht weiter hilft, aber mit den beiden anderen Werten kommen wir auf
$$ f(20)=-10= a\cdot 20^3 + c \cdot 20$$
$$ f'(20)=0 = 3 a \cdot 20^2 + c $$
$$-1= 800a + 2c$$
$$ 0 = 3a \cdot 400 + c \Leftrightarrow c = -1200a $$
$$ -1=800a+ (-1200a) \cdot 2 $$
$$ -1= (800-2400)a$$
$$ a= \frac{1}{1600} $$
$$ c= -\frac{3}{4} $$
$$f(x)= \frac{1}{1600}x^3-\frac{3}{4}x$$ für
$$ -20 \leq x \leq 20 $$
~plot~x^3/1600-3/4x;[[-30|30|-20|20]]~plot~
