Sei f: R→R. Äquivalenz beweisen und zeigen, dass f überall stetig ist.

Question

(1) Beweisen Sie die folgende Äquivalenz.

lim x→a f(x)= f(a)  ⇔  lim h→0 f(a+h)= f(a).

(2) Die Funktion f sei stetig in 0 und besitze die Eigenschaften f(0)=0 und f(x+y)= f(x)+f(y) für alle x, y ∈R. Zeigen Sie, dass f überall stetig ist.

Kann mit bitte einer bei den beiden Teilaufgaben helfen? Ich weiß nicht wie die Aufgaben gehen

Comments

Noch wer eine Idee?

Answer 1

lim x→a f(x)= f(a)  ⇔  f stetig in a

sei an eine Folge, die gegen a konvergiert, dann ist mit h_n = a-a_n  

h eine Nullfolge  und umgekehrt für jede Nullfolge h ist a+h eine Folge, die

gegen a konvergiert. Dann ist     lim h→0 f(a+h)= f(a).das Folgenkriterium

für die Stetigkeit, also seine Gültigkeit äquivalent zu    f stetig in a

zu 2) besser mit eps-delta Def. der Stetigkeit.

Comments

zu 2) f stetig bei 0 heißt

für alle eps>0 gibt es delta>0 mit |x-0| < delta ⇒ | f(x) - f(0) | < eps

also |x| < delta ⇒ | f(x)  | < eps     #

zu zeigen ist: Sei y aus IR, dann ist f stetig bei y .

sei also eps > 0 .  und delta wie bei # .

Sei nun   | x-y| < delta dann ist  y = x+z mit  |z| < delta .

Also f (y) = f(  x+z ) = f(x) + f(z)   ( s. Voraussetzung.)

und damit | f(y) - f(x) | = | f(x) + f(z) - f(x) | = | f(z) |   < eps  ( siehe # )