mit dem Tipp ist der Nachweis der Linearität ( in einer Komponente ) sicher einfach, etwa in der Art
< A1+A2,B> = ................... = < A1,B>+< A2,B>
und < x*A,B> = x*<A,B> für x aus IR.
Symmetrie rechenst du nach <A,B> = <B,A>
und positiv definit heißt ja: Skalarprodukt mit sich selbst betrachten:
<A,A> = 2a1^2 -a2a3 -a3a2 +a2^2 +4a3^2
= 2a1^2 -2a2a3 +a2^2 +4a3^2
= 2a1^2+a2^2 -2a2a3 +a3^2 +3a3^2
= 2a1^2+(a2 -a3)^2 +3a3^2
Das ist offenbar nie negativ und nur = 0
wenn a1=0 und a2-a3=0 und a3=0
also A = Nullmatrix.