Abbildung von Matrizen Skalarprodukt

Question

Hallo Community,

ich habe in einer Altklausur meiner Uni eine Aufgabe gefunden, bei der ich nicht weiß, wie man sie löst:

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Tipp:$$\left\langle\begin{pmatrix}a_1&a_2\\a_1&a_3\end{pmatrix},\begin{pmatrix}b_1&b_2\\b_1&b_3\end{pmatrix}\right\rangle_M=(a_1,a_2,a_3)\cdot\begin{pmatrix}2&0&0\\0&1&-1\\0&-1&4\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\b_3\end{pmatrix}.$$

Answer 1

mit dem Tipp ist der Nachweis der Linearität ( in einer Komponente ) sicher einfach, etwa in der Art

< A1+A2,B> = ...................   =  < A1,B>+< A2,B>

und < x*A,B> = x*<A,B>   für x aus IR.

Symmetrie rechenst du nach <A,B> = <B,A>

und positiv definit heißt ja: Skalarprodukt mit sich selbst betrachten:

<A,A> = 2a₁^2 -a₂a₃ -a₃a₂ +a₂^2 +4a₃^2

= 2a₁^2 -2a₂a₃ +a₂^2 +4a₃^2

= 2a₁^2+a₂^2 -2a₂a₃ +a₃^2 +3a₃^2

= 2a₁^2+(a₂ -a₃)^2 +3a₃^2

Das ist offenbar nie negativ und nur = 0

wenn a1=0  und  a2-a3=0    und  a3=0  

also  A = Nullmatrix.