Hess´sche Normalenformel - Abitur

Question

Hallo :) Wir wiederholen grade und haben eine Aufgabe aufbekommen, wo man zuerst mit der Hessschen Normalengleichung die Ebene E aufstellen soll, die heißt: E:x=6x+3y+2z=22. Auch habe ich die zwei Punkte P(7|5|7) und Q(6|1|2) gegeben,von denen ich dann den Abstand von der Ebene mithilfe der Abstandsformel berechnen soll.

Für n hatte ich jetzt (6|3|2) und für a (2|2|2). Jetzt dachte ich, dass ich n und a einfach in die Normalengleichung einsetzten kann, aber das ist nicht richtig, oder? Ich hatte auch mal versucht, das zu berechnen, also mit dem Normalenvektor, also sollte ich dann lieber mit dem weiterrechnen? Ich hab das einfach so berechnet, wie das bei und im Buch steht, aber ich fand das eben grade merkwürdig, kann mich auch nicht mehr so dran erinnern, ob wir das echt schon mal hatten. Also ich hab dann halt jetzt n0=vektor n/ den betrag von vektor n und komme auf E:(x-(1|0|2))*((6/7/),(3/7),(2/7))=0

Answer 1

Normalengleichung:

e:   \( \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\)  •  \(\vec{x}\)  -  22 = 0

|\(\vec{n}\)| = √(36+9+4) = √49 = 7

Abstandsformel   d(P,e) =  1/7 • | \( \begin{pmatrix} 6 \\ 3 \\ 2 \end{pmatrix}\) • \(\vec{p}\) - 22 |

Für \(\vec{p}\) Ortvektor der Punkte einsetzen und Abstand von e ausrechnen.

Gruß Wolfgang

Comments

ja aber stimmt das mit den brüchen denn jetzt? wie gesagt, ich hätte n und a einfach eingesetzt un d das dabei belassen

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Die Abstandsformel bezieht sich aber auf die Hesse-Normalenform, und da muss die Normalenform eben durch |\(\vec{n}\)| dividiert werden.