im Buch war eine kleine Verständnisfrage, welche lautet "Ist die Ordnungsrelation I auf ℕ linear?". Durch ein Beispiel von mir "3 I 7" und "7 I 3" wurde deutlich, dass I auf ℕ nicht linear ist.
Ich versuche nun, dies per Beweis zu zeigen.
Voraussetzung: I ist eine Ordnungsrelation auf ℕ.
Behauptung: Die Ornungsrelation I ist linear auf ℕ.
Beweis (per Widerspruch):
Angenommen die Ordnungsrelation I ist linear auf ℕ. Dann gilt für alle x,y ∈ ℕ, dass x I y und y I x. oBdA Sei nun x = 2k + 1 ∈ ℕ eine beliebige ungerade Zahl. Weiterhin ist y = 2k ∈ ℕ eine beliebige gerade Zahl. Aufgrund der Annahme muss gelten x I y = (2k) / (2k + 1) und y I x = (2k + 1) / (2k). Dies ist offensichtlich ein Widerspruch, da x I y =(2k) / (2k + 1) ∉ ℕ und y I x = (2k + 1) / (2k) ∉ ℕ sind. Folglich existiert auch keine Ordnungsrelation I auf ℕ, da sonst unmittelbar y I x und x I y folgen würde, somit war unsere Annahme falsch.
Stimmt mein Beweis? (Bzw. stört es euch, wenn ich täglich ca. drei / vier Fragen abschicke?)
LG