Statistik mit σ-Algebra, Borel-σ-Algebra, Messbarkeit

Question

Ich verstehe drei Dinge nicht so recht, nähmlich die σ-Algebra, Borelsche σ-Algebra und die Messbarkeit.Bei der σ-Algebra  verstehe ich die Definition, dass es eine Teilmenge von Omega sein muss und dann muss man einfach die 3 Axiome überprüfen. Aber ich verstehe nicht ganz für was man das braucht in der Wahrscheinlichkeitstheorie?Wo ist diese σ-Algebra wichtig beim rechnen? Ich habe irgendwo gelesen bei den Zufallsgrössen aber wo genau?Bei der Borelschen σ-Algebra verstehe ich schon die Definition nicht. Es heisst ja die Borelscheσ-Algebra ist die kleinste Sigma-Algebra, die alle offenen Menge von Omega enthält, was ist aber die offene Menge von Omega zum Beispiel bei einem Würfelwurf?Und zur Messbarkeit: Wie zeige ich die Messbarkeit?

Comments

\(\sigma\)-Algebren sind somit einer der grundlegendsten Bausteine der W-Theorie. Die Definition scheinst du nicht verstanden zu haben, denn bei Ihnen handelt es sich nicht um Teilmengen von \(\Omega\), sondern um Teilmengen der Potenzmenge von \(\Omega\), also selber um sog. Mengensysteme (Mengen die aus Mengen bestehen).

Wofür sind die wichtig? Zum Beispiel um überhaupt effektiv W-Maße sinnvoll zu definieren. Was sie bedeuten? Wenn \(\Omega\) deine Ergebnismenge ist, dann brauchst du ja noch irgendwas um Ereignisse sinnvoll abzudecken oder? An sich verallgemeinern sie diesen Gedanken noch weiter.

Borel wird eigentlich erst interessant, wenn bspw. \(\Omega = \mathbb{R}\) gewählt wird. Was eine offene Menge ist kannst du eurer Definition entnehmen.