Wie kommt man auf +c beim Integrieren?

Question

Also wenn man die Stammfunktion aufgestellt hat, dann hängt ja da immer noch ein +C am term, weil man ja nicht weiß, ob sie in Y Richtung verschoben ist. Wenn ich jetzt eine Sachaufgabe berechnen muss, muss ich dieses C ja berechnen. Wie komme ich denn nun da drauf, gibt's da eine Rechnung, die einem das C liefert?

Answer 1

Bei Sachaufgaben (z.B. der Inhalt einer bestimmten Fläche) mußt Du doch zuerst die Schnittpunkte durch

Gleichsetzen der beiden Funktionen bestimmen . Damit hast Du die obere und untere Grenze .

Es handelt sich um ein bestimmtes Integral . Als Ergebnis hat Du dann FE(Flächeneinheiten) , jedoch kein C.

Answer 2

Sei f(x) = 8x³ + 10x.

F(x) ist eine Stammfunktion von f(x), wenn F'(x) = f(x) ist.

q(x) = 2x⁴ + 5x² ist eine Stammfunktion von f(x), weil q'(x) = 2·4x³ + 5·2x = 8x³ + 10x = f(x) ist.

p(x) = 2x⁴ + 5x² + 1337 ist ebenfalls eine Stammfunktion von f(x), weil q'(x) = 2·4x³ + 5·2x = 8x³ + 10x = f(x) ist.

Es gibt also mehrere Stammfunktionen von f(x). Die Stammfunktionen von f(x) unterscheiden sich allerdings nur durch einen festen Summanden, den du mit C bezeichnet hast.

Dieser Summand kann weggelassen werden

• wenn du Integrale berechnest,
• wenn eine beliebige Stammfunktion zu einer gegebenen Funktion angegeben werden soll.

Anders liegt der Fall, wenn du eine bestimmte Stammfunktion angeben sollst. Klassische Aufgaben dieser Art lauten wie folgt:

Aufgabe. Bestimme die Stammfunktion von f(x) = 8x³ + 10x, die durch den Punkt P(3|210) verläuft.

Lösung. Alle Stammfunktionen F(x) von f(x) haben die Funktionsgleichung F(x) = 2x⁴ + 5x² + C.

Es ist F(3) = 210, also 2·3⁴ + 5·3² + C = 210, also 207 + C = 210. Somit ist C = 3 und die gesuchte Stammfunktion lautet F(x) = 2x⁴ + 5x² + 3.

Answer 3

Das c spielt nur beim unbestimmten Integrieren eine Rolle. Also wenn du eine Stammfunktion bestimmst, ohne dass du eine obere und eine untere Grenze einsetzt. Wenn du ein bestimmtes Integral ausrechnest, also die Differenz der Stammfunktion an der oberen Grenze und der der unteren Grenze ausrechnest, wird die Konstante c immer wegfallen, weil sie erst dazu addiert und dann wieder abgezogen wird.