Darstellung einer Preis Absatz Funktion

Question

eigentlich gar nicht so schwer denke ich,aber ich hab dermassen ein Brett vorm Kopf, dass ich für jede Hilfe seeehr sehr dankbar bin!!!!

a) Aus kumulierten Werten folgender Preiserhebung zur Herstellung eines Schreibtisches soll die dich ergebende Preis Absatz Funktion grafisch dargestellt werden. Produktion = 100 Stück in 6 Monaten / Produktionskosten 650€ pro Stück / 30.000€ einmalig für Einrichtung & Erhalt der Produktion

b) aus der grafischen Darstellung die Preis Absatz Funkt herleiten. Als Punktkoordination ist gegeben: P1 (0;3200) , P2 (20; 2400) , P3 (100; 800). Gesucht ist quadratische Funktion: P(X) = ax² + bx + c (allg. Form)

c) Aus dieser Grundlage die Erlösfunktion bilden

d) Aus den Kostenangaben eine Gesamtkostenfunktion bilden

e) durch die rechnerische Ermittlung einer Gewinnfunktion die Gewinnsituation für die geplante Schreibtischprod. Beschreiben

f) Folgende Wirtschaftlichkeitsberechnungen sollen jetzt mit der Differentialrechnung angewendet werden:
- die erlösmaximale Menge sowie den höchstmöglichen Erlös in € berechnen

- die gewinnmaximale Produktionsmenge und den höchstmöglichen Gewinn berechnen

- Preis pro Stück angeben, welcher bei dieser Angebotsmenge am Markt erzielt werden kann.
Gerade die Aufgabe f) bringt mich gerade zur Verzweiflung!!
Jemand eine Idee ??? Vieeeleeen Daaank !!!!

Answer 1

P1(0;3200), P2(20; 2400), P3(100; 800)

p(x) = ax^2 + bx + c

p(0) = 3200
c = 3200

p(20) = 2400
400·a + 20·b + c = 2400

p(100) = 800
10000·a + 100·b + c = 800

Das LGS hat mit Anwendung des Additionsverfahrens die Lösung

a = 0.2 ∧ b = -44 ∧ c = 3200

Damit lautet die Funktion

p(x) = 0.2x^2 - 44x + 3200

E(x) = x * p(x) = 0.2x^3 - 44x^2 + 3200x

K(x) = 30000 + 650x

G(x) = E(x) - K(x) = 0.2x^3 - 44x^2 + 3200x - (30000 + 650x) = 0.2·x^3 - 44·x^2 + 2550·x - 30000

Comments

f) Folgende Wirtschaftlichkeitsberechnungen sollen jetzt mit der Differentialrechnung angewendet werden:

- die erlösmaximale Menge sowie den höchstmöglichen Erlös in € berechnen

E'(x) = 0
0.6·x^2 - 88·x + 3200 = 0
x = 200/3 = 66.67 ist das Maximum

E(200/3) = 77037.04

- die gewinnmaximale Produktionsmenge und den höchstmöglichen Gewinn berechnen

G'(x) = 0
3·x^2/5 - 88·x + 2550 = 0
x = 39.75093053 ist das Maximum

G(39.75093053) = 14401.25

- Preis pro Stück angeben, welcher bei dieser Angebotsmenge am Markt erzielt werden kann.

p(39.75093053) = 1766.99