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ich suche Hilfe bei folgender Aufgabe.

Also: die Funktion f,g: ℝ→ℝ seien n-mal differenzierbar, nun soll ich folgendes zeigen:


(a) $$ { (fg) }^{ (n) }=\sum _{ k=0 }^{ n }{ \left( \begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right)  } { f }^{ (k) }{ g }^{ (n-k) } $$


außerdem gilt zu berechnen:

(b) f(100) für den Fall f(x) =x2ex


Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

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Das erste ist nur mehrfache Anwendung der Produktregel, beweis du am besten

über vollst Induktion.

b) Mit deiner Formel

∑ (n über k) f(k)g(n-k) , für k = 0 bis n.

und f = x^2 und g = e^x bleibt von den 100 Summanden nicht viel übrig, weil ab der 3. Ableitung

bei f(n) immer 0 rauskommt.

also ist die 100te Ableitung

(100 über 0)*x^2*e^x + (100 über 1) * 2x *e^x  + (100 über 2) * 2 *e^x +0+0+0+0..

e^x * (   (100 über 0)*x^2 + (100 über 1) * 2x   + (100 über 2) * 2 *e^x )

= e^x * ( x^2 +  200x  + 9900 )

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Ist es notwendig bzw. einfacher dies über einen Beweis der Induktion zu tun? Da ich leider ein Defizit habe, was das Thema Beweis mit Induktion angeht.

anders sehe ich keinen Weg.

Problem ist doch wohl nur der Induktionsschluss.

also von (fg)(n)  nach   (fg)(n+1) dazu musst du halt

∑ (n über k) f(k)g(n-k) , für k = 0 bis n.

nochmal ableiten und die einschlägigen Formeln für die

Binomialkoeff. benutzen.

Alles klar, dass ist schon ein weilchen her, werde mich mal erkundigen. Bei Problemen melde ich mich nochmal. Gegebenfalls würde ich gerne die Ergebnisse später vergleichen.

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