Erwartungswert beim Ziehen von Münzen auf zwei Arten berechnen

Question

Hallo Mathelounge,

ich habe eine Frage zum Erwartungswert beim Ziehen von Münzen aus einem Beutel.

Es sind z.B.

5 Stück 0,5€ Münzen

8 Stück    1€ Münzen

4 Stück    2€ Münzen

in einem Beutel, aus dem zwei Mal gezogen wird (also ohne Zurücklegen!)

Gesucht ist der Erwartungswert.

Mein Vorgehen war, die ZVe als Gesamtsumme zu definieren, also 1€, 1,5€, 2€, 2,5€, 3€ und 4€, die passenden Wahrscheinlichkeiten zu bestimmen und E(x) zu berechnen.

Das funktioniert wie es soll.

Was mich wundert, ist warum bei einer anderen Rechnung das selbe Ergebnis rauskommt:

Es wird E(x) für den ersten Zug berechnet und mit 2 multipliziert. Ich habe das ganze für verschiedene Beispiele durchprobiert und der Weg scheint auch zu klappen, aber: Warum?

Bei einer Durchführung mit Zurücklegen ist das einleuchtend. Der 1. und 2. Zug sind stochastisch unabhängig und somit können die Züge getrennt betrachtet werden, aber wenn ich nicht zurücklege, sollte das nicht klappen.

Wo ist mein Denkfehler?

Besten Dank im Voraus!

Comments

Nur eine Ueberlegung:

Falls man beim ersten Zug unter dem E(x) liegt, ist es wahrscheinlicher beim zweiten Zug entsprechend darueber zu liegen und umgekehrt, oder? Das wuerde sich dann genau aufheben.

Gehe ich Recht in der Annahme, dass E(x) für den ersten Zug das arithmetische Mittel ist?

Gruss

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Schon mal vielen Dank für die Antwort!

In genau die Richtung hatte ich auch gedacht. Zieht man im ersten Zug schon z.B. eines der vier 2€ Stücke, dann wird man beim zweiten Zug einen geringeren Erwartungswert haben.

Wie könnte ich zeigen, dass sich das genau aufhebt?

Das arithmetische Mittel ist es nicht. Bei der Berechnung von E(X) sind ja die Wahrscheinlichkeiten die Gewichtungsfaktoren und die sind alle unterschiedlich.

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Nun ja, das arithmetische Mittel passt schon, wenn ich den Gesamtwert aller Muenzen durch die Anzahl aller Muenzen teile, habe ich doch das arithmetische Mittel und somit in diesem Fall auch den Erwartungswert. Die Wahrscheinlichkeiten sind ja direkt proportional zu der Anzahl der jeweiligen Muenze. Ich meine nicht das Mittel der moeglichen Muenzwerte.

Analog waere das Beispiel ich packe statt mit zwei Wuerfel zu werfen entsprechend alle Ergebnisse in einen Beutel und zwar so oft wie sie vorkommen und ziehe dann aus diesem Beuten genau einmal. Wenn ich natuerlich die Zahlen von 1-12 je nur einmal hinein gepackt haette, wuerde es naturlich nicht stimmen.

Kannst Du einen bedingten Erwartungswert für den zweiten Zug je nach Ausgang des ersten berechnen und dann die Kombination daraus? Es gibt ja nur 3 Moeglichkeiten.

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Es wird E(x) für den ersten Zug berechnet und mit 2 multipliziert. Ich habe das ganze für verschiedene Beispiele durchprobiert und der Weg scheint auch zu klappen, aber: Warum?

Diese Frage stelle ich mir auch.

Answer 1

Hallo,

ich sehe das so: In einer Box befinden sich k Typen von Münzen, jeweils \(n_i\) viele, \(n:=n_1+ \cdots + n_k\). Es wird zweimal ohne Zurücklegen gezogen. \(X\) bezeichnet die Zufallsvariable "Ergebnis beim 1. Zug", also \(X=1, \ldots k\), Analog bezeichnet \(Y\) die Zufallsvariable "Ergebnis bei zweiten Zug".

Dann gilt:

$$P(Y=i)=P(Y=i\mid X=i)P(X=i)+P(Y=i \mid X \neq i)P(X \neq i)$$

$$=\frac{1}{n(n-1)}\left[(n_i-1)n_i+n_i(n-n_i)\right]=\frac{n_i}{n}$$

Also sind X und Y identisch verteilt und haben denselben Erwartungswert. Also eben \(E(X+Y)=2E(X)\)

Gruß Mathhilf