Ist die Vereinigung U1 U U2 U U3 ein Unterraum von V?

Question

Ich schreibe morgen meine Prüfung in Lineare Algebra 1 und arbeite gerade ein paar alte Klausuren durch, doch ich verstehe nicht ganz warum die Aussage E falsch ist. Kann mir wer das erklären? In der Musterlösung steht nur, dass die Aussage Falsch ist.

Danke schon mal für die Antworten :)

Answer 1

Gegenbeispiel für E ist der R^3 mit

U1 = x-Achse

U2 = y-Achse

U3 = z-Achse

U1 u U2 u U3 besteht nun nur aus den Achsen.

Sobald du 2 Vektoren ≠ 0 addierst, die nicht zur gleichen Achse parallel sind, bekommst du einen Vektor, der nicht in der Vereinigung liegt. Somit ist U1 u U2 u U3 kein UVR.

Answer 2

E ist falsch, wenn du z.B   IR^3 betrachtest und darin die Unterräume

{ (x;0;0) |   x aus IR  }     und     { (0;y;0) |   y aus IR  }  und { (0;0;z) |   zaus IR  } 

dann ist z.B.  (1;0;0)  aus  der Vereinigung und   ( 0;1;0) auch.

aber die Summe  ( 1;1;0) kommt in keinem der drei Unterräume vor,

also ist die Vereinigung der drei kein Unterraum.