Berechne die gefärbte Fläche

Question

Welcher Bruchteil der Gesamtfläche ist rot gefärbt?

Bie dieser Aufgabe sind Ausdauer und gute Ideen gefordert.

  

Hey. Ich habe Probleme bei der Berechnung dieser Aufgaben,die ich von einer Nachhilfeschülerin erhalten habe.

Beim linken Fehlt mir jedlicher Bezug zum Radius des oberen Kreises.(Die Unteren Kreise haben jeweils 1/2 des Radiussess des großen Kreises)

Die rechte Form setzt sich aus 4 viertelKreisen mit dem Radius a zusammen. Bzw. man kann diese Form erzeugen indem man zwei "Mandeln" übereinanderlegt. Diese einzelnen Mandeln lassen sich berechnen,indem man vom Flächeninhalt des Quadrates 1/4 des Flächeninhaltes eines Kreises subtrahiert und das was rauskommt zwei mal von dem Quadratflächeninhalt subtrahiert.

Mein Problem ist nun, dass diese "Mandeln" sich überlappen. Das heißt der Teil in der Mitte wird verdoppelt, wenn man den Flacheninhält von 2 Mandeln addiert.

Gibt es hier irgendwelche schönen Lösungen?

Ich kenne soweit nur eine Lösungen,die über Kreissektoren läuft, aber diese ist viel zu komplex für eine Schülerin der 10. Klasse.

Liebe Grüße,

Marvin

Comments

Radien stehen immer senkrecht auf den Kreisbogen.

Zumindest links kannst du (soweit ich mich erinnere) mit Pythagoras arbeiten.

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In wiefern kann ich da mit dem Pythagoras arbeiten? Also das einzige rechtwinklige Dreieck,was ich mir darein legen könnte,bei dem ich etwas über eine der Seiten wissen würde,wäre mit den Eckpunkten:
Mittelpunkt des Oberen kleinen Kreises, Schnittpunkt der beiden unteren Kreise, Mittelpunkt von einen der unteren Kreise.

Aber auch da gibt es zu viele Unbekannte, um dies aufzulösen.

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Kommst du beim 2. nicht mit Ein- und Ausschalten in die Nähe des Ziels?

Anfang: ( Viertelkreis + Viertelkreis) - Quadrat

gibt aber erst mal zwei kombinierte Kreissektoren.

Nun vielleicht noch 2 von denen addieren und geschickt subtrahieren.

Ist aber schon möglich, dass bei einer Ausdaueraufgabe rel. viel mit Sektoren zu rechnen ist.

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"Anfang: ( Viertelkreis + Viertelkreis) - Quadrat"

Das wäre dann so eine von mir benannte Mandel.

Hab viel versucht aber finde nichts was ich subtrahieren kann,damit ich den Teil in der Mitte los werde,der doppelt da ist =(

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Achtung:  Im Link ist die Abbildung ganz zum Schluss nicht genau das richtige Bild. 

http://de.scribd.com/doc/26148197/Berechnung-der-Geometrie-eines-gotischen-Kirchenfensters#scribd

Google mal mit den Stichwörtern

 gotisches Kirchenfenster kreis bogen geometrie.

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Irgendwo muss es diese Rechnungen doch geben.

Ich finde im Moment leider neben den obigen Rechnungen "nur" Bilder:

https://de.wikipedia.org/wiki/Maßwerk 

Auch, wenn ich auf Englisch umstelle und "See also " benutze.

Ihr könnt ja zusammen als Einstieg ein paar Bilder geniessen. Dann kommt bestimmt eine Idee.

Answer 1

Lieber Marvin! Schöne Lösungen gibt es bei diesen beiden Aufgaben nicht. Sie sind beide sehr komplex. Ob sie zu komplex für eine 10. Klasse sind, wage ich nicht zu beurteilen. In jedem Falle aber geht es nicht ohne anstrengende Rechnerei.
Noch eine Bemerkung zum kleinen Kreis in der linken Abbildung: Benenne alle drei Radien (der Größe nach: r₁, r₂, r₃). Dann gibt es eine senkreche Strecke h mit h = r₃ - r₁. Für h gilt nach Pythagoras h² + r₂² = (r₁ + r₂)² . Da sieht man schon, welcher Hammer das wird.

Comments

Oh, das ist ja doch der Ansatz den ich hatte.

Ist auch nicht ganz sooo komplex das umzuformen,sobald man einmal die Gleichung dort stehen hat.

Nachrechnen ergibt:

Also ist der Radius des kleinen Kreises 1/3 des großen Kreises.

Vielen dank :)