exponentialfunktion ableitung beweis

Question

Ich habe eine Idee, aber komme nicht weiter. Wenn man jetzt das hier ausschreiben würde:

\( \sum_{n=0}^{\infty}{\frac { x^n }{ n! }} \\ \)  , wäre das ja \( \sum_{n=0}^{\infty}{\frac { x^0 }{ 0! }+\frac { x^1}{ 1! }+\frac { x^2 }{ 2! }+\frac { x^3 }{ 3! }+...+} \\ \)  und wenn man das ableiten würde, würde ja \( \frac { x^0 }{ 0! } \) wegfallen, oder? also beim ableiten und somit könnten wir ja unsere Summe von \( n=1 \) starten lassen?, also:

\((\sum_{n=1}^{\infty}{\frac { x^n }{ n! }})' =\sum_{n=1}^{\infty}{\frac { nx{  }^{ n-1 } }{ n! }}\)

Ist das soweit richtig? wenn ja, ich komme mit der Fakultität im Nenner nicht klar ...

Comments

$$\frac{n}{n!}=\frac1{(n-1)!}.$$

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Leider verstehe ich das nicht. Ich stehe irgendwie auf dem Schlauch .... kannst Du mir das vielleicht ausführlicher erklären?

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Ersetze \(n!\) durch \((n-1)!\cdot n\) und kürze mit \(n\).

Answer 1

Hi,

$$ \frac{d}{dx}\sum_{n=0}^\infty\frac{x^n}{n!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{nx^{n-1}}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{nx^{n-1}}{n!} = \sum_{n=1}^\infty \frac{x^{n-1}}{(n-1)!} = \sum_{n=0}^\infty \frac{x^{n}}{n!}  $$

Comments

Hallo Ullim,

danke für deine Antwort. Ich verstehe einfach nicht wie man von n! auf (n-1)! kommt. Ich habe leider große Probleme bei Fakultitäten..

und bei Summe(n=1 bis Unendlich) (nx^n-1)/n!  das wenn man für n die 1 einsetzt, ergibt ja wieder 1x^1-1 = x^0 und das ergibt ja einfach 1 aber wie kommt man wieder auf n im exponent? jetzt bin ich völlig durcheinander

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4! = 4*3*2

Oder auch 4*3!

Also allgemein dann:

n! = n * (n-1) * (n-2) ... (schaue dir das Beispiel mit der Fakultät von 4 an) bzw.
n! = n * (n-1)!

n = 4:

4! = 4* 3!

3! ist ja 3*2.

Nun verständlich?

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ahso n! = n(n-1) und wie kommt man dann auf (n-1)! ??? OOoooo ich stehe grade wirklich aufm schlauch...

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n = 4:

4! = 4 * 3 * 2

3*2 kannst du auch mit (n-1)! ausdrücken.

Schau dir n = 5 an:

5! = 5*4*3*2

4*3*2 kannst du ausdrücken als 4!.

Also ist 5! = 5 (n) *4! (n-1!)

Und die allgemeine Form ist dann n! = n*(n-1)!

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ahhh ok ja jetzzt wird es verständlicher :)

jetzt muss ich ja irgendwie n(n-1)! kürzen oder? damit ich ja nur (n-1)! habe?

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Du hast ja folgenden Ausdruck:

n*x^n-1 : (n!)

n! schreibst du um zu n*(n-1)!

n*x^n-1 : (n*(n-1)!)

Nun kannst du kürzen, das n fällt weg und du hast nur noch da stehen:

x^n-1 : (n-1)!

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ahhhssooooo nx^n-1/(n(n-1)! 

das rote kürzt sich weg alsoo ... ahhhhh ja omg daaankkkeee dannnkkkkkeeee vielen vielen dankkkkk!!!!

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studierst Du Mathe? Ich bin leider noch in der 12 Klasse Abi :(

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Ich studiere Informatik.

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ohh cool das würde ich auch später gerne studieren wollen