Green'scher Integralsatz

Question

Ich bräuchte Hilfe den Green'schen Integralsatz zu verstehen! Wäre nett wenn mir wer anhand zweier Beispiele die Vorgehensweise erklären könnte.

1) Wählt man a(x,y)=1/2*(-y,x) mit ∂a_y/∂x- ∂ax/∂y=1....(Wie komm ich da darauf??) so erhält man eine Formel für den Flächeninhalt, berechnet als ein Kurvenintegral über den Rand:

∫d(x,y)=1/2∫(xdy-ydx)...und im Index des Integrals steht ∂G was mit {(acosφ,bsinφ):0≤φ≤2π)

Ich frage mich wie genau jetzt das Integrieren aussieht weil ich nicht verstehe wie man auf das Endergebnis abπ kommt.

2) Man berechne den Flächeninhalt eines Halbkreises mithilfe des Satzes von Green.

Ich hoffe ihr könnt mir helfen!

Answer 1

Vielleicht hilft das ja weiter

http://www.math.tugraz.at/~ganster/lv_vektoranalysis_ss_10/15_green_ebene.pdf

Dein 1. Beispiel ist wohl das Beispiel von S.2 unten in dem pdf-Dokument.

analog dazu wäre es bei deiner Notation     weil  aus

(x;y) = ( a*cos(φ) ;  b*sin(φ)  ) sich ergibt

  x = a*cos(φ) ist dx/dφ = -a*sinφ also  dx = -a*sinφ * dφ

                              und entsprechend dy = b*cosφ * dφ

Also:

1/2∫(xdy-ydx) = 1/2 ∫(xdy-ydx) =

=  1/2 ∫  a*cos(φ)*b*cosφ * dφ  -  1/2 ∫ b*sin(φ)* -a*sinφ * dφ

=  1/2 ∫  ab*cos^2(φ)*b*cosφ * dφ  + 1/2 ∫ ab*sin^2(φ) dφ

=   1/2 ∫  ( ab*cos^2(φ)*b*cosφ + ab*sin^2(φ)  ) dφ

=   1/2 ∫  ab*(  cos^2(φ) + sin^2(φ)  ) dφ

=   1/2 ∫  ab*1 dφ     und wegen 0≤φ≤2π geht das Integra von 0 bis 2π

= 1/2 * ab* φ     in den Grenzen  von 0 bis 2π

= 1/2 * ab* 2π    -   1/2 * ab* 0     =   abπ

Comments

Beim Halbkreis ist es fast genauso, die Parametrisierung ist ja

(x;y) = (r* cos(φ) ; r* sin(φ)  )  aber mit    0≤φ≤π wobei r der Radius ist.

Also ist es wie im 1. Beispiel nur mit a=b=r und das Integral

geht nachher nur von    0   bis  π und das gibt dann erwartungsgemäß     r^2 * π / 2. 

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Danke danke das hat mir sehr geholfen!!!

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Gut recherchiert!

Nur kleiner Flüchtigkeitsfehler:

integrate a*b*(  cos^2(x) + sin^2(x)  ) dx,x =0...2Pi

ist 2Pi*a*b

und somit

 1/2 * a*b* 2Pi    -   1/2 * ab* 0     nicht   a*b

 sondern = a*b*Pi

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Ja ja das pi. Ich ergänze es.