Bestimme: Definitionslücke, Verhalten an der Definitionslücke x-->0 und Verhalten x-->unendlich

Question

könnte einer bitte meine lösung überprüfen.

Geg: f(x)=(x²-1)/(x-1)

Ges: defi. lücke, verhalten an der def. lücke x-->0 und verhalten x-->unendlich

Lös:

f(x)=(x²-1)/(x-1)= (1²-1)/(1-1)=0--->f(x)=1

Verhalten an der def.lücke:  g=(lim)/(x-->0^-)=(x²-1)/(x-1)=(-1²-1)/(-1-1)=-unendlich

g=(lim)/(x-->0⁺)=(x²-1)/(x-1)=(1²-1)/(1-1)=0

g=(lim)/(x-->unendlich⁺)=(x²-1)/(x-1)=(x(1-1/x²))/(x(1-1/x))=x-1

g=(lim)/(x-->unendlich^-)=(-x²-1)/(-x-1)=(-x(1-1/x²))/(-x(1-1/x))=-x-1

Falls die nicht richtig ist, bitte mit erklärung.

Comments

 f(x)=(x²-1)/(x-1)

Die Definitionslücke ist nicht bei x = 0 sondern
bei x = 1 denn dann wird der Nenner ( x -1 ) =
( 1 - 1 ) = 0.

lim x −> 1 = [ ( x² - 1 ) / ( x - 1 ) ] = 0 / 0
L´Hospital
Z ´/ N ´= 2 * x / 1 = 2

Weitere Argumentation würden zeigen das es sich um eine
sogenannte " hebbare Lücke " handelt.
linker Grenzwert = Funktionswert = rechter Grenzwert

Ist x <> 1 ergibt sich
( x +1 ) * ( x - 1 ) / ( x -1 )  | kürzen
 f(x)=(x²-1)/(x-1) = x + 1

Die Funktion geht für ± ∞ nach ± ∞.

~plot~ ( x^2 - 1 ) / ( x -1 ) ~plot~

Answer 1

Für solche Aufgaben bietet sich meistens L'hôpital an.

lim0 ( x²-1 )/( x-1 ) = lim0 ( 2x )/( 1 ) = 0

Wenn du eine Funktion hast, welche du als Bruch schreiben kannst, so dass du a(x)/b(x) hast, kannst du die oben genannte Regel anwenden und schreiben:

$$\lim _{ x\rightarrow x0 }{ \cfrac { f(x) }{ g(x) }  } =\quad \lim _{ x\rightarrow x0 }{ \cfrac { f'(x) }{ g'(x) }  } $$

Meistens führt dies dann dazu, dass du durch mindestens mehrfaches Anwenden irgendwann einen Ausdruck wie f(x)/k = ∞ oder k/g(x) = 0