Was ist t zum Lösen der Gleichung? (t ist im Exponenten)

Question

Liebes Mathelounge Team,

hoffe, ihr koennt mir helfen!

Aufgabe:

Finde t für folgende Gleichung 128 = 4^{2t + 1} – 4^{t + 2 (}Antwort in meinen Unterlagen ist t=3/2, der Rechenweg ist jedoch sehr kompliziert)

Frage:

Warum kann ich die Gleichung nicht durch Umbasieren auf 2 auflösen? 

2^{7 =} 2 ^{2(2t + 1)} - 4 ^2(t+2)

7 = 4t +2 - 2t - 4

7 = 2t -2

9/2 = t

Comments

So sehr kompliziert ist doch nicht, du  machst

 128 = 4^{2t + 1} – 4^{t + 2}

 128 = 4*4^2t + – 16*4^t    u

und ersetzt 4 ^2t durch z^2 und 4^t durch z

Das gibt eine quadr. Gleichung für z

und dann bestimmst aus 4^t = z

das t.

Answer 1

Deine 2. Zeile ist falsch, bei der Summe von Potenzen kannst du nicht einfach die Basis weglassen,

sondern müsstest logarithmieren. Da läßt sich aber der log von

der Summe nicht vereinfachen.

Answer 2

128 = 4^{2t + 1} – 4^{t+2} | -128

0 = 4^{2t + 1} – 4^{^{t+2}} -128

0= 4^{2t} *4 ^1 - 4^t *4^2

Substitution

z= 4^t

----------->

0=z^2 *4 -z*16 -128

0= z^2 -4z -32

Lösung der quadr. Gleichung , dann rsubstituieren und DU kommst auf 3/2

Answer 3

Wenn man die ersten sieben Zweierpotenzen und die Potenzregeln  kennt, kann man schreiben
2⁷ = 2²·(4^t)²-(2²)²·4^t Nach Division durch 2² und Anwendung der Potenzregeln wird daraus
2⁵ = (4^t)² - 2²·4^t Für 4^t setzen wir x und rechnen die Potenzen von 2 wieder aus
32 = x² - 4x oder 0 = x² -4x - 32. Mit Hilfe der pq-Formel ist dann x = - 4 oder x = 8. Für x setzen wir wieder 4^t. Nun gibt 4^t = -4 keinen Sinn. Aber 4t =  8 formen wir wieder mit Hilfe der bekannten Zweierpotenzen um: 2^2t = 2³ . Ein Vergleich der Exponenten führt zu 2t = 3 und dann zu t = 3/2.

Comments

Wunderbar, ganz herzlichen Dank für die fixe und ausführliche Antwort!

Was ist der beste Weg, um meine Algebrakenntnisse zu verbessern und .. diesen Lösungweg von selbst zu sehen? (am besten eine Onlinedatenbank mit Aufgaben/ Erklaerungen)

Es macht mich wahnsinnig, dass ich sowas nicht kann.

Vielen lieben Dank!