Diagonalmatrix (Standardform) der Matrix A und eine Orthogonalmatrix C finden, sodass B=C^t*A*C gilt

Question

Hallo

Ich bräuchte Hilfe bei den Eigenwerten. Ich bekomme als char.polynom 2/3x^2-4/3x+1 raus.

Aber wenn ich dann die pq formel anwende kommen als x werte:

1 ± √(1-3/2) raus.

!

Danke

Comments

Ich hab hier als charakteristisches Polynom -x³+2x²-2x+1 und dann als Nullstellen x₁=1 und x_2,3=1/2±i√3/2 heraus.

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Ouu stimmt ich hab da iwo ein lambda vergessen .

Dankeschön :-)

Weißt du wie ich weiter kommen kann? Ich verstehe den Weg irgendwie nicht so ganz..

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Danach habe ich leider auch so meine Probleme. Für den Wert 1 habe ich als Eigenvektor L=({3,1,0})^T heraus. Kann aber nicht garantieren, dass der richtig ist. Zu den anderen beiden Werten such ich auch noch die Eigenvektoren.

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Wieso hast du bei den Eigenwerten eig ein i bei x2 und x3? Das ist doch eine Orthogonalmatrix also ist es doch im reellen..

Oki wenn du was findest, wäre es nett, wenn du das noch schreiben würdest :-)

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Der Eigenvektor zu 1 muss {1,1,1}^T heißen. Ansonsten schau mal hier:https://www.wolframalpha.com/input/?i={{2%2F3,-1%2F3,2%2F3},{2%2F3,2%2F3,-1%2F3},{-1%2F3,2%2F3,2%2F3}}

Answer 1

Für den Wert 1 habe ich als Eigenvektor L=({3,1,0})^T heraus. Kann aber nicht garantieren, dass der richtig ist. Zu den anderen beiden Werten such ich auch noch die Eigenvektoren.

Du rechnest A - (1/2+i√3/2)*E    und erhältst:

1/6 - √3 / 2 * i        -1/ 3        2/3 

etc ...........

und bringst das auf Stufenform:

1          0         1/2 + √3 / 2 * i
0          1         1/2 + √3 / 2 * i
0          0                    0           

Das gibt Eigenvektoren von der Form

(  (-1/2  -  √3 / 2 * i) *z   ;    ( -1/2  -  √3 / 2 * i) *z     ;     z    )  

= z * ( -1/2  -  √3 / 2 * i   ;     -1/2  -  √3 / 2 * i     ;     1  )

Also Basis des Eigenraumes:    ( -1/2  -  √3 / 2 * i   ;     -1/2  -  √3 / 2 * i     ;     1  )  

Musst du n och normieren.

Damit ist nach eurem "Rezept" der erste Block nur die Einermatrix

mit der 1 drin.

Und a und b für den 4-er Block sind ja 1/2 und   √3 / 2.

also ist der 4-er Block

     1/2        √3 / 2.
-  √3 / 2         1/2     Gibt für die Matrix gesuchte Matrix B =

1                 0                    0
0               1/2             √3 / 2
0              -  √3 / 2         1/2 

Comments

Für die Orthonormalbasis vom Eigenwert 1 muss ich den Eigenvektor doch normieren oder nicht?

Dann wäre die ONB zu 1: 1/√3 * (1,1,1)

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Ja, jedenfalls normieren.

Dann kannst du ja anschließend nachrechnen, ob

C^t * A * C = B stimmt.

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Ok.

Du meintest ja oben :

Du rechnest A - (1/2+i√3/2)*E    und erhältst:

1/6 - √3 / 2 * i        -1/ 3        2/3  

etc ...........

und bringst das auf Stufenform:

1          0         1/2 + √3 / 2 * i 
0          1         1/2 + √3 / 2 * i 
0          0                    0

Aber ich komme nicht auf diese stufenform..

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dann noch die 2. Zeile minus (1/7 + 3/7 * i *√3 ) mal 1. Zeile

Damit bekommst du die 2/3 in der 2. Zeile in der 1. Spalte weg.

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Oh, ich sehe gerade, dass du rechts unten in deiner
Matrix was falsch hast, das muss - i/2  * √3 heißen.

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Nee also ich habs nicht hinbekommen

die 2. Zeile minus (1/7 + 3/7 * i *√3 ) mal 1. Zeile

Zu rechnen. Da kommt bei mir keine 0 raus in der 2.spalten 1zeile. Ich mache jetzt einfach mit der matrix weiter, die du vorgegeben hast. 

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... das muss - i/2  * √3 heißen.

Wieso wird das ganze durch 2 geteilt? Der Bruch wird doch auch mit 2 multipliziert, weswegen diese verschwinden sollte.

2 * (2/3 - (1+i√3) / 2) - 1/3 = 4/3 - (1+i√3) - 1/3 = -i√3

Gruß

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Wie kommst du bei A-1/2+√3/2*i auf 1/6-√3/2*i? Ich hab da 1/6+√3/2*i heraus.

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Wegen A - (1/2+√3/2*i) = A - 1/2 - √3/2*i

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Ok, danke hab meinen Fehler jetzt gefunden.