Exponentialrechnung Halbwertszeit. Zwei Populationen wachsen exponentiell (Zeiteinheit t=Tage).

Question

könntet ihr mir bitte bei dieser Aufgabe helfen?

Zwei Populationen wachsen exponentiell (Zeiteinheit t=Tage). Für die Population 1 beträgt die Wachstumsrate 1%. Die Anzahl der Individuen nach 3 Tagen ist 2061. Die Anzahl der Individuen der Population 2 beträgt am Anfang 200, nach 3 Tagen zählt man 207.
a) Stellen Sie die Wachstumsfunktionen für die Population 1 und Population 2 sowohl in Form N(t)=N0*a^t als auch in der Form N(t)=N0*e^{k*t} auf.
Form N(t)=N0*a^t ist mir klar.Leider die zweite Form nicht.
Könntet ihr mir auch sagen, wie ich die zweite Form richtig in den Taschenrechner eingeben kann, um zu berechnen?
c) Wann sind beide Populationen gleich groß?
Habe beide Funktionen gezeichnet, aber bei mir schneiden sich die Funktionsgraphen leider nicht.

Comments

Hinweis : die Brechnung einer Halbwert = Halbierung auf die Hälfte des
Ausgangswerts kommt bei dir nicht vor.

Fundamentales : jede Exponentialfunktion kann in eine andere Exponentialfunktion
mit anderer Basis umgewandelt werden.

Geht gleich weiter.

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Beispiel

1.02^t = 4^z  | ln ( )
ln ( 1.02^t ) = ln ( 4^z )

t * ln ( 1.02 ) = z * ln ( 4 )
z = t * ln ( 1.02 ) / ln ( 4 )
z = t * 0.01428

1.02 ^t = 4^{t*0.01428}

Hier beide Graphen. Diese würden sich überdecken weil sie gleich sind.
Deshalb habe ich den 2.Graphen um 1 nach oben geschoben.

~plot~ 1,02^{x};4^{x*0,01428}+1 ; [[ -30 | 30 | 0 | 3 ]] ~plot~

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2.Population

207 = 200 * a^3
a^3 = 207 / 200
a = ( 207 / 200 )^{1/3}
a = 1.0115

N ( t ) = 200 * 1.0115^t

1.0115^t = e^z | ln  ( )
t * ln ( 1.0115 ) = z * ln ( e) = z
z = 0.01143 * t

N ( t ) = 200 * e^{0.01143*t}

Für die Population 1 beträgt die Wachstumsrate 1%.
Die Anzahl der Individuen nach 3 Tagen ist 2061
2061 = N0 * 1.01^3
N0 = 2000

1.Population
N ( t ) = 2000 * 1.01^t
2.Population
N ( t ) = 200 * 1.0115^t

Die 2.Population wächst schneller. Ein Schnittpunkt ist zu vermuten.

2000 * 1.01^t = 200 * 1.0115^t
10 * 1.01^t = 1.0115^t
10 =  1.0115^t / 1.01^t
10 =  ( 1.0115 / 1.01 )^t
t *  ln (  ( 1.0115 / 1.01 ) = ln ( 10 )
t = 1552 Tage

Bitte alles überprüfen und bei Bedarf wieder melden.

Answer 1

N(t)=N0*a^t als auch in der Form N(t)=N0*e^k*t auf.

Sagen wir du hast

N(t)=N0*1.01^t als auch in der Form N(t)=N0*(e^k)^{^{}t} auf.

jetzt ist die Gleichung

1.01 = e^k zu lösen. 

1.01 = e^k  | ln

ln(1.01) = k 

Deshalb 

N(t)=N0*e^{ln(1.01)*t} 

ln(1.01) kannst du noch in den Taschenrechner eingeben und ausrechnen. Das erhöht aber die Genauigkeit gar nicht. 

c) Wann sind beide Populationen gleich groß? 
Habe beide Funktionen gezeichnet, aber bei mir schneiden sich die Funktionsgraphen leider nicht. 

Am besten schreibst du deinen Lösungsweg hin. Dann sieht man schnell, woran das liegt.