f(x) = 1/5·x^5 + x^4 + 4/3·x^3 ; -3 ≤ x ≤ 1
f'(x) = x^4 + 4·x^3 + 4·x^2
f''(x) = 4·x^3 + 12·x^2 + 8·x
Symmetrie
Keine untersuchte Symmetrie
Verhalten im Unendlichen
lim (x → - ∞) f(x) = - ∞
lim (x → ∞) f(x) = ∞
Y-Achsenabschnitt f(0)
f(0) = 0
Nullstellen f(x) = 0
1/5·x^5 + x^4 + 4/3·x^3 = x^3·(1/5·x^2 + x + 4/3) = 0 → x = 0 (dreifach und damit Sattelpunkt)
Extrempunkte f'(x) = 0
x^4 + 4·x^3 + 4·x^2 = x^2·(x^2 + 4·x + 4) = 0 → x = -2 (doppelt) ∨ x = 0 (doppelt)
Da es beides doppelte Nullstellen sind gibt es keine lokalen Extrempunkte
f(-3) = -18/5 = -3.6 → Globales Minimum (-3 | -3.6)
f(1) = 38/15 = 2.533 → Globales Maximum (1 | 2.533)
Wendepunkte f''(x) = 0
4·x^3 + 12·x^2 + 8·x = 4·x·(x^2 + 3·x + 2) = 0 → x = -2 ∨ x = -1 ∨ x = 0
f(-2) = - 16/15 → Sattelpunkt (-2 | -1.067)
f(-1) = - 8/15 → Wendepunkt (-1 | -0.5333)
f(0) = 0 → Sattelpunkt (0 | 0)
Hinweis zum Nullstellen finden:
Du kannst ein x^3 ausklammern
1/5·x5 + x4 + 4/3·x3 = x3·(1/5·x2 + x + 4/3) = 0
Dann verwendet man den Satz vom Nullprodukt und die abc-Formel, um Nullstellen auszurechnen.