Stochastik Anzahl der Kugeln

Question

Eine Urne enthält schwarze und rote Kugeln. Nachdem eine Kugel aus der Urne gezogen und ihr Farbe festgestellt wurde, wird sie in die Urne zurückgelegt. Danach werden die Kugeln der anderen Farbe verdoppelt und es wird erneut eine Kugel gezogen.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die erste Kugel rot und die zweite Kugel schwarz? Unter welcher Bedingung ist diese Wahrscheinlichkeit gleich 1/3?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide Kugeln rot? Unter welcher Bedingung ist diese Wahrscheinlichkeit gleich 0,1?

Die Anzahl der Kugeln sind doch gar nicht gegeben ??

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Urne (Stochastik) mit roten und schwarzen Kugeln (Aufgabe 5 a und b)

Stichworte: wahrscheinlichkeit,stochastik,urne,rot,schwarz,kugeln,bedingung

Kann jmnd die Aufgabe 5 a und b lösen unf erkl.?lösen und erklären evt,

Urne (Stochastik) mit roten und schwarzen Kugeln (Aufgabe 5 a und b) 

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EDIT: Bitte Text künftig nicht nur als Bild sondern auch als Text eingeben: https://www.mathelounge.de/schreibregeln

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Schau mal hier: https://www.mathelounge.de/347106/stochastik-anzahl-der-kugeln

Answer 1

Eine Urne enthält schwarze und rote Kugeln. Nachdem eine Kugel aus der Urne gezogen und ihr Farbe festgestellt wurde, wird sie in die Urne zurückgelegt. Danach werden die Kugeln der anderen Farbe verdoppelt und es wird erneut eine Kugel gezogen. 
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die erste Kugel rot und die zweite Kugel schwarz? Unter welcher Bedingung ist diese Wahrscheinlichkeit gleich 1/3? 

P = r/(r + s) · 2·s/(r + 2·s) = 2·r·s/((r + s)·(r + 2·s))

2·r·s/((r + s)·(r + 2·s)) = 1/3

s = r/2 ∨ s = r

Wenn es zu Anfang halb so viele schwarze wie rote kugeln gab oder wenn die Anzahl roter und schwarzer Kugeln zu Anfang gleich war.

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide Kugeln rot? Unter welcher Bedingung ist diese Wahrscheinlichkeit gleich 0,1? 

P = r/(r + s) · r/(r + 2·s) = r^2/((r + s)·(r + 2·s))

r^2/((r + s)·(r + 2·s)) = 0.1

s = 3/2·r

Wenn es am Anfang 50% mehr schwarze als rote Kugeln gab.

Comments

Danke,

wie forme ich das nach s um?

2·r·s/((r + s)·(r + 2·s)) = 1/3

kürzen geht nicht,soll ich ausmultilplizieren?

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Ja Klar. Zunächst Nenner auf die andere Seite bringen. Ausmultiplizieren. Zusammenfassen und am Schluss auflösen.

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2·r·s/((r + s)·(r + 2·s)) = 1/3    I*(r + s)·(r + 2·s)

2rs                             =1/3 * (r + s)·(r + 2·s)

2rs                            =1/3 *(r²+2sr+sr+2s²)

2rs                            =1/3 *(r²+3sr+2s²)

2rs                            =1/3r²+sr+2/3s²           I-2rs

0                              =1/3r²-sr+2/3s²         I:1/3

0                                 =r²-3sr+2s²

Und jetzt? pq-Formel???

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Genau. bekommst du hin oder?

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s1/2=-3r/2 +- √[(3r/2)²-2s²]

s1/2=-3r/2+-√[9r²/4 -2s]

Geht das noch weiter?

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r^2 - 3·s·r + 2·s^2 = 0

Nach s auflösen ist gefährlich, weil vor dem s^2 noch die 2 steht. Also mal nach r auflösen.

r = 3/2·s ± √(9/4·s^2 - 2·s^2) = 3/2·s ± s/2

r = 2·s oder r = s

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Vielen Dank             

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Ich komme bei r²/((r + s)·(r + 2·s)) = 0.1 auf eine zweite Lösung, die negativ ist....
Deshalb fällt sie weg oder?

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Richtig. Macht ja keinen Sinn wenn es eine negative Anzahl an Kugeln gibt.

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Eine Frage habe wie kommt man zu diesem Fazit:

Wenn es am Anfang 50% mehr schwarze als rote Kugeln gab.

Muss es nicht 2/3 sein also 66,67?

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Dankeschön                                .

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s = 3/2·r

Für r = 10 

s = 3/2·10 = 15

Also 10 rote und 15 schwarze. Das sind doch 50% mehr schwarze Kugeln als rote oder nicht ?

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Asoo genau, dankeschön            

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Darf ich mal Fragen warum du so viele verschiedene Aufgaben aus der Stochastik hast? Und dann aus so unterschiedlichem Niveau? Ist das aus der Schule oder Studium?

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Warum muss man bei Aufgabenteil a) im Zähler des zweiten Bruchs eine zwei schreiben?

P = r/(r + s) · 2·s/(r + 2·s)

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Weil nachdem eine rote Kugel gezogen wird die Anzahl der schwarzen Kugeln verdoppelt wird. Dann hat man 2·s schwarze Kugeln.

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Hmm okay, aber ich dachte eigentlich, dass das dann schon durch den Nenner ausgedrückt wird (r+2s). Im Zähler steht doch die Anzahl der der gezogenen schwarzen Kugeln oder verstehe ich das falsch?

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Nach Laplace berechnet sich die Wahrscheinlichkeit aus dem Quotienten der günstigen Ereignisse und der möglichen Ereignisse. Damit muss auch die Anzahl der Kugeln im Zähler stehen.

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Okay, danke :)

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Ich habe eine Frage, unzwar, wie kommt man von -3sr auf 3/2s bei der PQ-Formel?^^

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Das wwurde oben doch eigentlich schon vorgemacht.

r^2 - 3sr + 2s^2 = 0

p = -3s ; q = 2s^2

r = -(-3s)/2 ± √((-3s/2)^2 - 2s^2)

r = 3/2·s ± √(s^2/4)

r = 3/2·s ± 1/2·s

r = s oder r = 2·s

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Ist 4y=x auch richtig? Wobei x=Rot und y=Schwarz ist.

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Ist 4y=x auch richtig? Wobei x=Rot und y=Schwarz ist.

Die Lösungen, die ich heraus habe, stehen oben. Diese ist nicht dabei. Gibt es einen Grund, warum du denkst, dies sei eine Lösung? Gilt es z.B. für eine schwarze und 4 rote Kugeln?

Es kann natürlich sein das ich mich vertan habe und meine Lösungen falsch sind oder ich Lösungen vergessen habe. Dann solltest du deine Lösung erklären. Ich habe schließlich versucht meine Lösungen durch Rechnungen zu begründen.

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Hier ist meine Lösung.

Text erkannt:

\( \begin{array}{l}\Rightarrow \frac{P(x \cap 2 Y)}{P(X)}=\frac{1}{3} \mid \cdot P(X) \Rightarrow P(X \cap 2 y)=\frac{1}{3} \cdot P(X) \\ =\frac{2 x y}{(x+y) \cdot(x+2 y)}=\frac{1}{3} \cdot \frac{x}{x+y} \mid \cdot(x+y) \\ \Rightarrow \frac{2 x y \cdot(y+y)}{(x+2) \cdot(x+2 y)}=\frac{x}{3} \\ \Rightarrow \frac{2 x y}{x+2 y}=\frac{x}{3} \mid: x \\ \Rightarrow \frac{2 x y}{x^{2}+2 x y}=\frac{1}{3} \Rightarrow \frac{x \cdot 2 y}{x(x+2 y)}=\frac{1}{3} \\ \Rightarrow \frac{2 y}{x+2 y}=\frac{1}{3} \mid \cdot(x+2 y) \\ \Rightarrow 2 y=\frac{x+2 y}{3} \mid \cdot 3 \\ \Rightarrow 6 y=x+2 y / 2 y \\ \Rightarrow \quad 4 y=x \\\end{array} \)

Text erkannt:

Es müssen Vier Mal so Viele schwarge Kugeln als rote kugeln vorhanden seil.
\( \begin{aligned} P_{R}(S) & =\frac{P(R \cap S)}{P(R)} \\ & =\frac{\frac{4}{P} \cdot \frac{2}{6}}{\frac{4}{p}}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} \end{aligned} \)