Warum stehen Variablen innerhalb einer Logarithmus- bzw. Ln Funktion im Betrag?

Question

Hi

Setz man deswegen eine Variabel innerhalb eines Logarithmus bzw. einer Ln-Funktion in Betrag bei Differentialgleichungen, da aus der Potenz mit positiver Basis keine negative Zahl folgen kann?

Danke

Answer 1

Variablen stehen deshalb innerhalb einer Logarithmusfunktion im Betrag, weil damit ausgedrückt werden soll dass der Betrag logarithmiert werden soll.

Comments

Danke, ich wollte wissen, warum man nach man z.B. bei Integration von  1/x den Ln des Betrag angibt, dann will man ja nicht unbedingt den Betrag wissen, oder?

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Weil eben $$\int\frac{dx}{x}=\ln|x|$$ ist. Fuer \(x>0\) ist das egal, aber die Formel gilt auch für \(x<0\). Du kannst auch $$\int\frac{dx}{x}=\begin{cases}\ln x&\text{fuer $x>0$,}\\ \ln(-x)&\text{fuer $x<0$,}\end{cases}$$ schreiben, wenn Du das schoener findest.

Kapiert?

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> ... bei Integration von  1/x den Ln des Betrag angibt

1. Definitionsbereich von 1/x ist ℝ\{0}
2. 1/x ist im gesamten Definitionsbereich integrierbar.
   
3. Definitionsbereich von ln x ist (0, ∞). Nur in diesem Bereich kann ln x Stammfunktion von 1/x sein.
4. Wenn x ∈ (0, ∞) ist, dann ist x = |x|. Also ist auch ln |x| Stammfunktion von 1/x im Bereich (0, ∞).
5. Im Bereich (-∞, 0) ist ln (-x) Stammfunktion von 1/x
   
6. Wenn x ∈ (-∞, 0) ist, dann ist -x = |x|. Also ist auch ln |x| Stammfunktion von 1/x im Bereich (-∞, 0).
7. Also ist ln |x| Stammfunktion von 1/x im gedamten Definitionsbereich von 1/x.