Nullstellen berechnen bei quadratischer Funktion mit zusätzlichem Parameter

Question

für welche beiden Werte des Parameters k hat die quadratische Funktion  f(x)=x^2+(k+2)x+9 genau eine Nullstelle?

Ergebnis ist 

k_1=-8

k_2=4

Hab mir den Funktionsgraph zeichnen lassen und einfach verschiedene Werte probiert. 6 und -6 passen dann für b ( für ax^2+bx+c)

Aber wie kann man denn rechnerisch die Aufgabe erledigen? Normalerweise würde man ja pq-Formel oder abc-Formel nehmen um die Nullstellen zu berechnen aber wie geht das mit dem zusätzlichen Parameter? Und wie lege ich fest, dass die Funktion genau eine Nullstelle hat und nicht mehrere?

Answer 1

f(x)=x²+(k+2)x+9 genau eine Nullstelle? 

x²+(k+2)x+9 = 0 hat genau eine Lösung.

Diskriminante D = b^2 - 4ac  ist Null.  (Theorie zu quadratischen Gleichungen!) https://de.wikipedia.org/wiki/Diskriminante#Diskriminante_einer_quadratischen_Gleichung

(k+2)^2 - 4*1*9 = 0

(k+2)^2 = 36

k+2 = ± 6

k = -2 ± 6 

k1 = 4

k2 = - 8

Comments

Ach ja die Diskriminante hab ich komplett vergessen =) Danke

Answer 2

Hi!

Du musst die Funktion 0 setzen:

 f(x)=x²+(k+2)x+9  =0      |pq-Formel/ Mitternachtsformel:

p=(k+2)

q=9

      Diskriminante bei der pq-Formel muss für nur eine Nullstelle 0 ergeben, also

((k+2)/2)² -9=0

->  (k²+4k+4)/4 -9=0      

-> 0,25k²+k+1-9=0 

Pq-Formel/Mitternachtsformel/ abc-Formel:

bringt:

k1= -8

k2=4