e-Funktion, Stellen mit f(x)=4

Question

Ich muss die Stellen der Funktion f(x)=x+e^{-0,5x} ermitteln, bei denen f(x)=4 ist.

also f(x)=4<=> x+e^{-0,5x} = 4 
wie komme ich dann weiter?

Answer 1

x + e^{- 0.5·x} = 4

x + e^{- 0.5·x} - 4 = 0

Nun ein Verfahren wie Intervallschachtelung oder Newtonverfahren benutzen

x = -4.210933155

x = 3.854448329

Comments

Also kann ich das nicht lösen, wenn ich nicht weiß wie Intervallschachtelung oder das Newtonverfahren funktionieren?

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Du machst z.b. eine Wertetabelle von -10 bis 10

[-10, 134.4131591;
-9, 77.01713130;
-8, 42.59815003;
-7, 22.11545195;
-6, 10.08553692;
-5, 3.182493960;
-4, -0.6109439010;
-3, -2.518310929;
-2, -3.281718171;
-1, -3.351278729;
0, -3;
1, -2.393469340;
2, -1.632120558;
3, -0.7768698398;
4, 0.1353352832;
5, 1.082084998;
6, 2.049787068;
7, 3.030197383;
8, 4.018315638;
9, 5.011108996;
10, 6.006737946]

Wir sehen eine Nullstelle im Intervall [-5, -4] und eine im Intervall [3, 4]. In beiden Intervallen machst du jetzt erneut eine Wertetabelle die du immer weiter um eine Stelle genauer machst.

[-5, 3.182493960;
-4.9, 2.688346719;
-4.8, 2.223176380;
-4.7, 1.785569724;
-4.6, 1.374182454;
-4.5, 0.9877358363;
-4.4, 0.6250134994;
-4.3, 0.2848583971;
-4.2, -0.03383008745;
-4.1, -0.3320988937;
-4, -0.6109439010]

[-4.3, 0.2848583971;
-4.29, 0.2520412372;
-4.28, 0.2194376288;
-4.27, 0.1870465068;
-4.26, 0.1548668114;
-4.25, 0.1228974881;
-4.24, 0.09113748768;
-4.23, 0.05958576606;
-4.22, 0.02824128460;
-4.21, -0.002896990422;
-4.2, -0.03383008745]

Das kann nun solange fortgeführt werden bis die gewünschte Genauigkeit erreicht ist.

Zum Newton Verfahren siehe auch

https://de.wikipedia.org/wiki/Newton-Verfahren

Answer 2

Für interessierte, hier die exakte Lösung mit der LambertW-Funktion:

x + e^{-x/2}= 4

http://www.lamprechts.de/gerd/LambertW-Beispiele.html

e^{-x/2}=-1*x+4 | das ist §5 mit  a=-1/2; b=-1; c=4

x=2*LambertW(n, (1/2)/[-e^{(1/2)*4}])+4

x=2*LambertW(n, -1/[2*e²])+4 mit n=-2...2

n |          x_{n                                                                                                          |}

-2 | -5.722274104375822652048-14.5284714897824057 i

-1 | -4.210933155753486516756...

 0 | 3.8544483346879293074046...

 1 | -5.722274104375822652048+14.5284714897824057 i

 2 | -6.772923609268448006066+27.52829660232488510224 i

Probe bestätigt die 2 reellen und 3 komplexen Lösungen.