Auf einer 5.2 km langen Rundstrecke fahren zwei Velofahrer vom selben Punkt aus in entgegengesetzte Richtungen. Der Schnellere braucht für eine Runde 8 min, der Langsamere 10 min. Wann und wo treffen sie aufeinander?
Hier mal mein Ansatz zum ersten Teil der Aufgabe:
Benötigt ein Fahrer die Zeit \(t\) [in Minuten] für eine Runde, so schafft er in einer Minute \(1/t\) Runden. Der Schnellere schafft also \(1/8\) Runden, der Langsamere \(1/10\) Runden. Wenn beide gleichzeitig vom selben Punkt aus in verschiedene Richtungen losfahren, addieren sich ihre Beiträge an den Rundenanteilen und sie schaffen gemeinsam \(\left(1/8 + 1/10\right)\) Runden. In der Zeit \(t\) fahren sie dann die \(t\)-fache Strecke. Gesucht ist nun die Zeit \(t\), bis zum ersten Treffen. Nach dieser Zeit haben sie zusammen genau eine Runde zurückgelegt. Dies führt auf die Bestimmungsgleichung
$$ \left(\frac18+\frac1{10}\right)\cdot t = 1 $$und ergibt
$$t = \frac{1}{\frac18+\frac1{10}} = \frac{1}{\frac9{40}} = \frac{40}{9} = 4.\overline{4} \text{ Minuten}.$$Weiter ergibt sich beispielsweise für die zurückgelegte Strecke (zweiter Teil der Aufgabe) des schnelleren Fahrers:
$$s_1 = 5200 \cdot \frac18 \cdot \frac{40}{9} = 2888.\overline{8} \text{ Meter}.$$
