Elastizität berechnen

Question

Ich habe folgende Elastizitätsgleichung

$$ E =-4x(x-1) $$

Nun soll ich den Preis bestimmen, bei dem der Preis elastisch und unleastisch ist.

$$ E=>1 $$ $$elastisch$$

$$ E=< 1  $$ $$unelastisch$$

Also habe ich mir gedacht, ich löse das so

$$ 1 = -4x(x-1) $$

Und nach X auflösen.

Nun habe ich aber folgendes Probleem.

Als erstes komme ich hier nicht weiter beim lösen der Gleichung:

$$\frac {1}{4 } = -x^2+x$$

$$\frac {1}{2 } = -x+\sqrt{x}$$

Wie löse ich hier nach x auf?

Die Lösung soll lauten, für zum Beispiel elastisch

$$x>\frac {1}{2}(1+ \sqrt{2})$$

Ich komme einfach nicht auf das Ergebnis.
Ist mein vorgehen falsch oder wo liegt der Fehler?

Comments

Ist der Preis bei \( E = 1 \) sowohl elastisch als auch unelastisch?

Answer 1

sind es die Nullstellen von \( -4x(x-1) - 1 \), was du suchst?

Diese berechnen sich mittels der p-q-Formel. Es ist

\( 0 = 4x^2 - 4x + 1 \).

In Normalform ist es

\( 0 = x^2 - x + \frac{1}{4} \).

Mit \( p = -1 \) und \( q = \frac{1}{4} \) gilt

\( x_{1, 2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2 - q} = \frac{1}{2} \pm 0 = \frac{1}{2} \).

Für \( x = \frac{1}{2} \) gilt also \( E = -4x(x-1) = 1 \). Für alle anderen \( x \) gilt \( E = -4x(x-1) < 1 \).

Wenn man deiner Definition von Unelastizität folgt, ist der Preis also für alle \( x \) unelastisch. Wenn man Unelastizität über \( E < 1 \) definiert, ist der Preis für fast alle \( x \) unelastisch.

Du kannst es dir graphisch vorstellen, indem du die Funktion \( E(x) = -4x(x-1) \) plottest:

https://www.google.de/search?client=ubuntu&channel=fs&q=-4x(x-1)&ie=utf-8&oe=utf-8&gfe_rd=cr&ei=x9JjV9GlLKmr8weR9ojYBQ .

Dann siehst du eine quadratische Funktion, die ihr Maximum \( 1 \) bei \( x= \frac{1}{2} \) annimmt.

Mister