zerlege das Integral in zwei Teile, einmal von 0 bis 1 und von 1 bis ∞.
Das Integral von 0 bis 1 existiert, weil limes x --> 0 sin(x)/x=1, und ist endlich.
Das Integral von 1 bis ∞ machst du mit partieller Integration, und nimmst den Betrag
|∫1∞sin(x)*1/x*dx|=|-cos(x)*1/x|1∞+∫1∞cos(x)/x^2 dx|
jetzt mit Dreiecksungleichung abschätzen:
|-cos(x)*1/x|1∞+∫1∞cos(x)/x^2 dx|<=|-cos(x)*1/x|1∞|+|∫1∞cos(x)/x^2 dx|<=|-cos(x)*1/x|1∞|+∫1∞|cos(x)/x^2dx|
jetzt kann man den rechten Term weiter nach oben abschätzen, indem man nutzt, dass|cos(x)|<=1
|-cos(x)*1/x|1∞|+∫1∞|cos(x)/x^2 dx|<=|-cos(x)*1/x|1∞|+∫1∞1/x^2 dx<∞
das Integral über 1/x^2 konvergiert bekanntlich, genauso wie der linke Term beschränkt ist
--->|∫0∞sin(x)*1/x*dx|<∞, also das Integral existiert
