Gegeben sei die Anfangswertaufgabe y' = Ay mit

Question

\(A=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1 & 0 \end{pmatrix} \) und der Anfangsbedingung \(y(0)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} \).

Betrachten Sie die Abbildung $$ G:C(ℝ,{ ℝ }^{ 2 })\rightarrow C(ℝ,{ ℝ }^{ 2 }),\quad (G(\phi ))(x)=\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}+\int _{ 0 }^{ x }{ A\phi (t)dt. }  $$

Setzen Sie \( { \phi  }_{ 0 }(x)=(_{ 0 }^{ 1 }) \) und \({ \phi  }_{ n+1 }=G({ \phi  }_{ n }) \) für alle \( n\in { ℕ }_{ 0 }\). Der Beweis des Satzes von Picard-Lindelöf zeigt, dass die Funktionenfolge \( { (\phi  }_{ n })_{ n\in { ℕ } } \) gleichmäßig auf jedem Kompaktum gegen die Lösung der Anfangswertaufgabe konvergiert.

1)

Berechnen Sie  \( { \phi  }_{ 1 } \), \( { \phi  }_{ 2 } \), \( { \phi  }_{ 3 } \) und \( { \phi  }_{ 4 } \) konkret.

2)

Erraten Sie die allgemeine Formel für \( { \phi  }_{ n } \) und beweisen Sie diese.

Answer 1

Hi,
ausrechnen ergibt
$$ \Phi_1(x) = \begin{pmatrix} 1 \\ -x \end{pmatrix} $$
$$ \Phi_2(x) = \begin{pmatrix} 1 - \frac{x^2}{2} \\ -x \end{pmatrix} $$
$$ \Phi_3(x) = \begin{pmatrix} 1-\frac{x^2}{2} \\ -x + \frac{x^3}{6} \end{pmatrix} $$
$$ \Phi_4(x) = \begin{pmatrix} \frac{x^4}{24}-\frac{x^2}{22}+1 \\ -x + \frac{x^3}{6} \end{pmatrix} $$
und das verallgemeinert
$$ \Phi_\infty(x) = \begin{pmatrix} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \\ -\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(x) \\ -\sin(x) \end{pmatrix} $$
Das ergibt sich auch aus der Dgl. \( y'(x) = A y(x) \)

Die Lösung ist nämlich

$$ y(x) = e^{Ax} y_0 = \begin{pmatrix}  \cos(x) & \sin(x) \\ -\sin(x) & \cos(x) \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos(x) \\ -\sin(x) \end{pmatrix} $$

Comments

Wie bist du bei der A vorgegangen? Wie ist da genau die rangehensweise zum errechnen der Werte?

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Hi,

rechne \( A \Phi(t) \) aus und integriere das Ergebnis und addiere den Anfangswert, dann hast Dein neues \( \Phi(t) \). Damit kannst Du dannn den nächsten Wert ausrechnen.

Zu Beginn also

$$ \Phi_1(x) = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} + \int_0^x Ay_0 dt = \begin{pmatrix} 1\\0 \end{pmatrix} + \int_0^x \begin{pmatrix} 0\\-1 \end{pmatrix} dt = \begin{pmatrix} 1 \\ -x \end{pmatrix} $$ usw.

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Φ_n stimmt aber nicht für jedes n.

In einem Durchgang wird sin und im nächsten cos berechnet.

Berechne mit der Φ_n  Formel z.B. Φ₃...

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Was ich berechnet habe ist eigentlich \( \Phi_\infty \). Ich habe das oben korrigiert.

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Ja ok, dann stimmst ;-)

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wie berechnet man dann die zweite ? Einfach die gleiche Formel benutzen nur anstat y0 erstes Ergebnis einsetzen ? ich habe als Lösung ( 1- x^2 , -x ) bekommen.

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Wo benutzt Du das y(0)?

gleiche Formel und berechnetes Φ einsetzen.

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ja und bekomme ( 1 , 0 ) + x ( -x^2 / 2 , -x ) = ( 1 - x^3 / 2 , -x^2 )

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Du hast hier eine Matrix Multiplikation:

(1,0) + integral(A*Φ)  d.h. Matrix A * Vektor Φ

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wenn man integriert muss auch die beide Grenzen einsetzen ? also x * ergebnis - 0 * ergebnis

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=> 0*1+1*(-x)  ,   (-1)*1+0*(-x)  = ( -x, -1)

Das dann integrieren und mit (1, 0 ) addieren

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Hi,

also \( A \begin{pmatrix} 1\\-x \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -x\\-1 \end{pmatrix} \)
Das Integral ergibt \begin{pmatrix} -\frac{x^2}{2} \\ -x \end{pmatrix} Damit folgt
$$ \Phi_2(x) = \begin{pmatrix} 1-\frac{x^2}{2} \\ -x \end{pmatrix} $$

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danke ullim, kann das leider nicht richtig darstellen... hoffe es ist jetzt klar ;-)

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also mein Fehler ist ,dass ich noch mit den Grenzen x und 0 multipliziere.