Hochpunkt tiefpunkt wendepunkt und sattelpunkt untersuchen

Question

Hallo. Könnte jemand mir bei dieser Aufgabe helfen ?

Danke sehrg

Answer 1

a)

Problematisch für die Stetigkeit ist nur die Nahtstelle x=0 .

Wenn die Funktion dort stetig sein soll, muss gelten:

lim_x→0+  ( x * ln(x) )  = lim_x→0- ( x² - ax) = f(0)

                  0 = 0 = 0  ,  also f stetig  für alle a∈ℝ

[ bei lim_x→0+  ( x * ln(x) )  = " 0 * - ∞"  überwiegt der Polynomterm x den ln-Term ]

b)

Auch die Differenzierbarkeit ist nur an der Nahtstelle x=0 problematisch.

f_a'(x) =   ( ln(x) + 1  für  x>0

               ( 2x - a       für x<0

lim_x→0+   ( ln(x) + 1 ) =  - ∞  →  f_a nicht diff''bar in x=0

c)

Betrachte beide Zweige und x=0 getrennt.

Nullstellen x = 0 , x = a

Extrempunkte:  T( 1/e | -1) für a>0

T₁( 1/e | -1)  und  T₂( a/2 | -a²/4 ) für a<0

kein Wendepunkt ( und damit auch kein Sattelpunkt)

d)

für a>0 ist a die zweite Nullstelle:

Tangentensteigung f '(a) = ln(a)+1

für a<0 ist 0 die zweite Nullstelle, dort ist die Tangentensteigung nicht definiert.

Gruß Wolfgang

Comments

Hallo. Wie schön sind Sie.

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Aber für welche a ist die stetig ? Für alle R oder a ist gleich null,sodass die stetig ist ?

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für alle reellen Zahlen r

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Ja und ist fa nicht differenzierbar an der stelle xo=0 aber wie könnte ich wissen,dass es ein a von reellen zahlen gibt,sodass es differenzierbar ist oder es gibt kein a.Danke

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lim_x→0+   ( ln(x) + 1 ) =  - ∞  (vgl. Antwort)

lim_x→0+   ( 2x - a ) =  -a 

wenn f_a in x=0 differenzierbar wäre, müssten beide Grenzwerte gleich derselben Zahl sein.

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Ja genau. Aber die Frage lautet,gibt es ein a,sodass die Funktion differenzierbar ist ? Irgendwelches a ? Mein Lehrer hat gesagt,das kann nicht sein aber ich weiß nicht warum.

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Mit a ist eine Zahl gemeint, also kann der Grenzwert  -a  nicht gleich dem Grenzwert   - ∞ sein.

Der rechts- und der linksseitige Grenzwert von  f_a an der Stelle x=0 müssten aber gleich sein, wenn f_a  dort differenzierbar wäre.

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Ach so okay. Verstehe ich. Danke sehr

Answer 2

erste, zweite dritte Abelitung bilden, gleich Null setzen, usw.

Du musst hier aufpassen, da Du 2 Funktionen hast, und bei 0 wahrscheinlich gesondert untersuchen musst. Außerdem kann Dein Mechanismus über die Ableitungen fehlschlagen.

(Die Tatsache, dass z.B. eine Parabel keinen Wendepunkt hat, heißt noch lange nicht, dass sie auch keine Krümmung hat.)

Grüße,

M.B.

Comments

noch ein Hinweis:

Stetigkeit heißt, dass sich die beiden Funktionnen berühren müssen, d.h. bei 0 den gleichen y-Wert haben.

Grüße,

M.B.

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Halo. Danke Ihnen sehr. Ich verstehe.