Dreieck im Raum in Koordinatensystem einzeichnen

Question

Gegeben ist ein Dreieck ABC im Raum mit den Ecken A(1,/-1/-2), B(5/7/6) und C (3/1/4).

a. Zeichnen sie das Dreieck in ein Koordinatensystem.

b.Untersuchen sie die Art des Dreiecks.

c.Bestimmen sie den Umfang des Dreiecks.

Comments

zu a)

Schau mal https://www.matheretter.de/wiki/koordinatensystem-3d 

Das erste (kostenfreie) Video im Link sollte genügen für die Aufgabe a) .

Answer 1

Skizze sieht etwa so aus:

Was kannst du am Rest nicht ?

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AB = B - A = [5,7,6] - [1,-1,-2] = [4, 8, 8]

AC = C - A = [3,1,4] - [1,-1,-2] = [2, 2, 6]

BC = C - B =  [5,7,6] - [3,1,4] = [2, 6, 2]

Man kann bereits an den Vektoren sehen das die Seiten AC und BC gleich lang sind. Es handelt sich also um ein gleichschenkliges Dreieck. Man sieht weiterhin, dass keine zwei Seiten senkrecht zueinander sind.

Kannst du jetzt die Seitenlängen und den Umfang bestimmen? 

Du könntest dann auch bestimmen ob das Dreieck stumpf oder spitzwinklig ist.

Answer 2

b) + c) 

wenn du die Seitenlängen berechnest, kannst du erst einmal entscheiden, ob das Dreieck gleichseitig oder gleichschenklg ist, und den Umfang ( = Summe der Seitenlängen) bestimmen:

z.B.

|\(\overline{AB}\)|  =  |\(\overrightarrow{AB}\) | =  | \(\begin{pmatrix} b_1-a_1 \\ b_2-a_2 \\ b_3-a_3 \end{pmatrix}\) |  =  √[ (b₁² - a₁²) +( b₂² - a₂²) + ( b₃² - a₃²) ]

Weiter kannst du dann überprüfen, ob das Dreieck rechtwinklig ist, indem du die Skalarprodukte der Seitenvektoren ausrechnest und überprüfst, ob eines davon 0 ergibt.

Ist z.B. \(\overrightarrow{AC}\)  =   \(\begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}\)  und  \(\overrightarrow{BC}\)  =  \(\begin{pmatrix} u \\ v \\ w \end{pmatrix}\)

→  \(\overrightarrow{AC}\) • \(\overrightarrow{BC}\)  =  x·u + y·v + z·w

Gruß Wolfgang