Alternative Formel für Kegel finden

Question

Der Abstand vom Kreis bleibt stets gleich. Ich gehe davon aus, dass die Seiten des Kegels gerade sind. Die klassische Formel wäre: (pi/3) *r^2*h

Meine Idee durch eine hohe Anzahl an Dreiecken, den Flächeninhalt näherungsweise berechnen. Man dreht sich sozusagen einmal im Kreis und addiert alle unendlich dünnen Dreiecke, welche in meinem Fall rechtwinklig sind(leichter zu berechnen (h*r/2)*dx). X ist die Dicke, wenn das so funktionieren könnte.... Wie kann man so etwas berechnen, hat jemand eine Idee? Beispielsweise durch Integrale? meine Skizze:

Answer 1

Besser ist, man türmt unendlich dünne Kreisscheiben aufeinander. Dazu teilt man h in n gleiche Teile und findet dazu die Radien ir/h für i von 1 bis h. Jetzt addiert man die Volumina der n Scheiben und lässt n gegen unendlich gehen. Es gibt aber auch eine Integralformel für Rotationskörper. Ein Spezialfall wurde hier hergeleitet.

Comments

Diese Antwort geht doch an der Fragestellung völlig vorbei !

Gast hj2577 ist gerade dabei, selbständig das Integrieren in Zylinderkoordinaten zu entdecken (Hut ab !). Er sollte deshalb Unterstützung in dieser Richtung erhalten.

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@Gasthj2577:

 

Deine Dreiecke haben aber leider keine Dicke dx.

Mir dem Term  h*r/2)*dx  berechnest du Prismen mit dreieckiger Grundfläche, die hier  nicht so recht in die Figur passen.

Bei deiner Idee müsste man also wohl von angenäherten Pyramiden mit dreieckiger Grundfläche ausgehen.(angenähert wird dann ein Kegelausschnitt).

Dabei müsste nicht dx sondern der Mittelpunktswinkel dφ "sehr klein" werden.

Schau mal  hier  (einfach anklicken)

Answer 2

Male die einen Kreis mit radius r auf und in diesen Kreis ein regelmäßiges Dreieck. Wie kannst du dieses Dreieck berechnen?

Male die einen Kreis mit Radius r auf und in diesen Kreis ein regelmäßiges Viereck. Wie kannst du dieses Viereck berechnen?

Male die einen Kreis mit Radius r auf und in diesen Kreis ein regelmäßiges Fünfeck. Wie kannst du dieses Fünfeck berechnen?

Male die einen Kreis mit Radius r auf und in diesen Kreis ein regelmäßiges n-Eck. Wie kannst du dieses n-Eck berechnen?

G = n·1/2·r^2·SIN(360°/n)

Was passiert wenn n gegen unendlich geht ? Gibt es da einen Grenzwert ? Wie lässt er sich berechnen ?

Damit ergibt sich als Volumen

V = 1/3 * G * h = 1/3 * n·1/2·r^2·SIN(360°/n) * h = 1/6·n·r^2·SIN(360°/n)·h

Du könntest die Kreisfläche aber auch erstmal über ein Integral versuchen herleiten.