lineare Gleichungsystem, beweise dass es lösung gibt

Question

(a) Seien a ; b ; c ; d ; r ; s ∈ R gegeben, die das folgende lineare Gleichungssystem von 2 Gleichungen in den beiden Variablen x; y bestimmen:

(υ)    ⟨ a x + b y = r

          ⟨ c x + d y = s

Beweisen Sie die Aussagen:

(i) Falls ad − bc ≠ 0, so existiert eine eindeutige Losung von (υ) über R. Geben Sie die Losung an. (Hinweis: Bergründen Sie, warum Sie o.B.d.A. d ≠ 0 annehmen können.)
(ii) Falls ad − bc = 0 , so besitzt (υ) entweder keine oder unendlich viele Losungen über R.

Answer 1

a·x + b·y = r

c·x + d·y = s

a*II - c*I

y·(a·d - b·c) = a·s - c·r 

Keine Lösung für a·d - b·c = 0 und a·s - c·r ≠ 0

Unendlich viele Lösungen für a·d - b·c = 0 und a·s - c·r = 0

Genau eine Lösung für a·d - b·c ≠ 0

y = (a·s - c·r)/(a·d - b·c)

Jetzt in eine Gleichung einsetzen und x ausrechnen

c·x + d·(a·s - c·r)/(a·d - b·c) = s --> x = (d·r - b·s)/(a·d - b·c) ∨ c = 0