Fehler im Beweis von "Satz: (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)." finden

Question

Satz:  (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).

Beweis: Setze L := (A ∩ B) ∪ C und R := (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Wir müsen zeigen: Für jedes x gilt: x ∈ L gdw. x ∈ R.

Wir machen eine Fallunterscheidung danach, ob x in C liegt oder nicht. Fall 1: x ∈ C.

Dann ist x ∈ L (nach Definition von ∪). Außerdem ist x ∈ A ∪ B und x ∈ B ∪ C (auch nach Definition von ∪), und damit x ∈ R (nach Definition von ∩).

In diesem Fall gilt also insbesondere: x ∈ L gdw. x ∈ R. Fall 2: x ∈/ C.

Dann gilt nach Definition von ∩:x∈L ⇐⇒ x∈A∩B;also ist x∈L gdw. x∈A und x∈B (nach Definition von ∩).

Außerdem: x ∈ R gdw. x ∈ A∪C∨x ∈ B∪C (nach Definition von ∩). Da x ∈/ C, ist das (nach Definition von ∪) äquivalent zu: x ∈ A ∨ x ∈ B.

Also gilt auch in Fall 2: x ∈ L gdw. x ∈ R.

Comments

Ich finde in diesem Beweis die 4 Fehler nicht :-(

Answer 1

 R := (A ∪ C) ∩ (B ∪ C)     

> Dann ist x ∈ L (nach Definition von ∪). Außerdem ist x ∈ A ∪ B und x ∈ B ∪ C  

   Dann ist x ∈ L (nach Definition von ∪). Außerdem ist x ∈ A ∪ C und x ∈ B ∪ C 

> Außerdem: x ∈ R gdw. x ∈ A∪C  ∨  x ∈ B∪C     falsch 

   Außerdem: x ∈ R gdw. x ∈ A∪C  ∧  x ∈ B∪C   

> (nach Definition von ∪) aquivalent zu: x ∈ A  ∨ x ∈ B.

   (nach Definition von ∪) äquivalent zu: x ∈ A  ∧  x ∈ B.

> Dann gilt nach Definition von ∩: x∈L ⇐⇒ x∈A∩B;

   Dann gilt nach Definition von ∪: x∈L ⇐⇒ x∈A∩B;

Sonst habe ich nichts gesehen (ist aber auch schon spät :-))

Gruß Wolfgang