Satz: (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ C) ∩ (B ∪ C).
Beweis: Setze L := (A ∩ B) ∪ C und R := (A ∪ C) ∩ (B ∪ C). Wir müsen zeigen: Für jedes x gilt: x ∈ L gdw. x ∈ R.
Wir machen eine Fallunterscheidung danach, ob x in C liegt oder nicht. Fall 1: x ∈ C.
Dann ist x ∈ L (nach Definition von ∪). Außerdem ist x ∈ A ∪ B und x ∈ B ∪ C (auch nach Definition von ∪), und damit x ∈ R (nach Definition von ∩).
In diesem Fall gilt also insbesondere: x ∈ L gdw. x ∈ R. Fall 2: x ∈/ C.
Dann gilt nach Definition von ∩:x∈L ⇐⇒ x∈A∩B;also ist x∈L gdw. x∈A und x∈B (nach Definition von ∩).
Außerdem: x ∈ R gdw. x ∈ A∪C∨x ∈ B∪C (nach Definition von ∩). Da x ∈/ C, ist das (nach Definition von ∪) äquivalent zu: x ∈ A ∨ x ∈ B.
Also gilt auch in Fall 2: x ∈ L gdw. x ∈ R.
